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Disambiguazione – Se stai cercando l'analogo concetto in analisi complessa e teoria del potenziale, vedi Insieme polare.

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un insieme polare di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un insieme nello spazio duale che soddisfa determinate proprietà.

Definizione

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Si definisce coppia duale una tripla composta da due spazi vettoriali   e   sullo stesso campo   (dei numeri reali o complessi) e da una forma bilineare   tale che:

  •  
  •  

Due elementi   e   sono ortogonali se  , mentre due insiemi   e   sono ortogonali se ogni coppia di elementi in   e   è formata da vettori ortogonali fra loro.

L'insieme polare di un sottoinsieme   in   è l'insieme   in   definito come:

 

L'insieme detto insieme bipolare di un sottoinsieme   di   è il polare in   di  , e si denota con  .

Proprietà

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  •   è assolutamente convesso
  • Se   allora  
  •  
  •  
  • Per una coppia duale  ,   è chiuso in   rispetto alla topologia debole* su  .
  • Il bipolare   di   è l'inviluppo assolutamente convesso di  , ovvero il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente  . Se   è già assolutamente convesso allora  .

Bibliografia

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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