Insieme polare
In matematica, in particolare in analisi funzionale, un insieme polare di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un insieme nello spazio duale che soddisfa determinate proprietà.
Definizione
modificaSi definisce coppia duale una tripla composta da due spazi vettoriali e sullo stesso campo (dei numeri reali o complessi) e da una forma bilineare tale che:
Due elementi e sono ortogonali se , mentre due insiemi e sono ortogonali se ogni coppia di elementi in e è formata da vettori ortogonali fra loro.
L'insieme polare di un sottoinsieme in è l'insieme in definito come:
L'insieme detto insieme bipolare di un sottoinsieme di è il polare in di , e si denota con .
Proprietà
modifica- è assolutamente convesso
- Se allora
- Per una coppia duale , è chiuso in rispetto alla topologia debole* su .
- Il bipolare di è l'inviluppo assolutamente convesso di , ovvero il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente . Se è già assolutamente convesso allora .
Bibliografia
modifica- (EN) C.D. Aliprantis e K.C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, 3ª ed., Springer, 2007, p. 215, DOI:10.1007/3-540-29587-9, ISBN 978-3-540-32696-0.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- Antonio Marigonda - Note sul seminario del prof. Vladimir V. Goncharov per il corso di analisi funzionale (PDF), su profs.sci.univr.it.