Spazio riflessivo

Sia ${\displaystyle X}$  uno spazio vettoriale normato sul campo ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$  o ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ , e con norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ . Si consideri il suo spazio duale continuo ${\displaystyle X'}$ , che consiste in tutti i funzionali lineari continui ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$  ed in cui è definita la norma duale ${\displaystyle \|\cdot \|'}$  data da:

${\displaystyle \|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|\leq 1\}}$ 

Il duale ${\displaystyle X'}$  è uno spazio di Banach, e il suo duale ${\displaystyle X''=(X')'}$  è detto biduale di ${\displaystyle X}$ . Si tratta dell'insieme di tutti i funzionali lineari ${\displaystyle h:X'\to {\mathbb {F} }}$  ed è fornito della norma ${\displaystyle \|\cdot \|''}$ , duale di ${\displaystyle \|\cdot \|'}$ . A ogni vettore ${\displaystyle x\in X}$  può essere associato un funzionale scalare ${\displaystyle J(x):X'\to {\mathbb {F} }}$  nel modo seguente:

${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad f\in X'}$ 

dove ${\displaystyle J(x)}$  è un funzionale lineare continuo su ${\displaystyle X'}$ , ovvero ${\displaystyle J(x)\in X''}$ . Si ottiene in questo modo la funzione:

${\displaystyle J:X\to X''}$ 

detta mappa di valutazione, che è lineare. Segue dal teorema di Hahn-Banach che ${\displaystyle J}$  è una funzione iniettiva e che preserva la norma:

${\displaystyle \forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|}$ 

ovvero ${\displaystyle J}$  mappa ${\displaystyle X}$  isometricamente nella sua immagine ${\displaystyle J(X)}$  in ${\displaystyle X''}$ . L'immagine ${\displaystyle J(X)}$  non è necessariamente uguale a ${\displaystyle X''}$ .

Uno spazio normato ${\displaystyle X}$  è riflessivo se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

• La mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to X''}$  è suriettiva.
• La mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to X''}$  è un isomorfismo isometrico tra spazi normati.
• La mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to X''}$  è un isomorfismo tra spazi normati.

Uno spazio riflessivo ${\displaystyle X}$  è uno spazio di Banach dal momento che ${\displaystyle X}$  è (per quanto detto sopra) isometrico allo spazio di Banach ${\displaystyle X''}$ .

Da notare che uno spazio di Banach è riflessivo se è linearmente isometrico al suo biduale rispetto a ${\displaystyle J}$ , ma si dimostra che esiste uno spazio ${\displaystyle X}$  non riflessivo che è linearmente isometrico a ${\displaystyle X''}$ .^[1]

Uno spazio di Banach è detto quasi-riflessivo (o di ordine ${\displaystyle d}$ ) se il quoziente ${\displaystyle X''/J(X)}$  ha dimensione finita ${\displaystyle d}$ .

• Se uno spazio di Banach ${\displaystyle Y}$  è isomorfo a uno spazio di Banach riflessivo ${\displaystyle X}$ , allora ${\displaystyle Y}$  è riflessivo.
• Ogni sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio riflessivo è riflessivo. Il duale di uno spazio riflessivo è riflessivo. Il quoziente di uno spazio riflessivo per un suo sottospazio vettoriale chiuso è riflessivo.
• Se ${\displaystyle X}$  è uno spazio di Banach, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
  • ${\displaystyle X}$  è riflessivo.
  • Il duale di ${\displaystyle X}$  è riflessivo.
  • La sfera unitaria chiusa in ${\displaystyle X}$  è compatta nella topologia debole (teorema di Kakutani).
  • Ogni successione limitata in ${\displaystyle X}$  possiede una sottosuccessione debolmente convergente, dal momento che compattezza debole e compattezza sequenziale debole coincidono per il teorema di Eberlein-Šmulian.
  • Ogni funzionale lineare continuo su ${\displaystyle X}$  raggiunge il suo valore massimo sulla sfera unitaria in ${\displaystyle X}$  (teorema di James).

Dalla terza proprietà segue che i sottoinsiemi convessi chiusi e limitati di uno spazio riflessivo ${\displaystyle X}$  sono debolmente compatti. In questo modo, per ogni successione decrescente di insiemi convessi, chiusi, limitati e non vuoti di ${\displaystyle X}$ , la loro intersezione non è vuota. Come conseguenza, ogni funzione convessa continua ${\displaystyle f}$  definita su un sottoinsieme convesso e chiuso ${\displaystyle C\subset X}$ , e tale per cui l'insieme:

${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$ 

è non vuoto e limitato per ogni ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ , raggiunge il suo minimo valore su ${\displaystyle C}$ .

• Gli spazi di Banach riflessivi sono frequentemente caratterizzati tramite le loro proprietà geometriche. Se ${\displaystyle C}$  è un sottoinsieme convesso e chiuso dello spazio riflessivo ${\displaystyle X}$ , allora per ogni ${\displaystyle x\in X}$  esiste ${\displaystyle c\in C}$  tale che ${\displaystyle \|x-c\|}$  minimizza la distanza tra ${\displaystyle x}$  e i punti di ${\displaystyle C}$ . Si nota che mentre la minima distanza tra ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle C}$  è unicamente definita dalla scelta di ${\displaystyle x}$ , lo stesso non si può dire per il punto ${\displaystyle c}$ : il punto più vicino ${\displaystyle c}$  è unico quando ${\displaystyle X}$  è uniformemente convesso.
• Uno spazio di Banach riflessivo è separabile se e solo se lo è il suo duale. Ciò segue dal fatto che per ogni spazio normato ${\displaystyle Y}$  la separabilità del duale ${\displaystyle Y'}$  implica la separabilità di ${\displaystyle Y}$  stesso.

Uno spazio di Banach ${\displaystyle Y}$  è finitamente rappresentabile in uno spazio di Banach ${\displaystyle X}$  se per ogni sottospazio ${\displaystyle Y_{0}}$  di ${\displaystyle Y}$  che ha dimensione finita e per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$  esiste un sottospazio ${\displaystyle X_{0}}$  di ${\displaystyle X}$  tale per cui la distanza moltiplicativa di Banach-Mazur tra ${\displaystyle X_{0}}$  e ${\displaystyle Y_{0}}$  soddisfa:^[2]

${\displaystyle d(X_{0},Y_{0})<1+\varepsilon }$ 

Uno spazio di Banach finitamente rappresentabile in ${\displaystyle \ell ^{2}}$  è uno spazio di Hilbert, ed ogni spazio di Banach è finitamente rappresentabile nello spazio delle successioni ${\displaystyle c_{0}}$ . Lo spazio Lp ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$  è inoltre finitamente rappresentabile in ${\displaystyle \ell ^{p}}$ .

Uno spazio di Banach ${\displaystyle X}$  è detto superriflessivo se tutti gli spazi di Banach ${\displaystyle Y}$  finitamente rappresentabili in ${\displaystyle X}$  sono riflessivi, ovvero se nessuno spazio non riflessivo ${\displaystyle Y}$  è finitamente rappresentabile in ${\displaystyle X}$ .

Un risultato che si deve a R. C. James mostra che uno spazio è superriflessivo se e solo se lo è il suo duale.

Il concetto di spazio di Banach riflessivo può essere generalizzato considerando spazi localmente convessi. Sia ${\displaystyle X}$  uno spazio vettoriale topologico su ${\displaystyle \mathbb {R} }$  o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Si consideri il suo spazio duale ${\displaystyle X'_{\beta }}$  relativamente alla topologia forte, che è formato da tutti i funzionali lineari continui ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$  e munito della topologia forte ${\displaystyle \beta (X',X)}$ , ovvero la topologia associata alla convergenza uniforme di sottoinsiemi limitati di ${\displaystyle X}$ . Lo spazio ${\displaystyle X'}$  è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso, e si può quindi considerare il suo duale ${\displaystyle \beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })}$  (relativamente alla topologia forte), detto biduale forte di ${\displaystyle X}$ . Si tratta dello spazio formato da tutti i funzionali lineari ${\displaystyle h:X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }}$  e in esso è definita la topologia forte ${\displaystyle \beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })}$ . Ogni vettore ${\displaystyle x\in X}$  genera una funzione ${\displaystyle J(x):X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }}$  per mezzo della formula:

${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad f\in X'}$ 

che è un funzionale lineare continuo su ${\displaystyle X'_{\beta }}$ , ovvero ${\displaystyle J(x)\in (X'_{\beta })'_{\beta }}$ . Si ottiene la mappa di valutazione:

${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$ 

che è lineare. Se ${\displaystyle X}$  è localmente convesso, dal teorema di Hahn-Banach si ha che ${\displaystyle J}$  è una funzione iniettiva e aperta (cioè per ogni intorno ${\displaystyle U}$  dello zero in ${\displaystyle X}$  esiste un intorno ${\displaystyle V}$  dello zero in ${\displaystyle (X'_{\beta })'_{\beta }}$  tale che ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$ ). Tuttavia può essere non suriettiva, né continua.

Uno spazio localmente convesso ${\displaystyle X}$  è detto:

• semi-riflessivo se la mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$  è suriettiva.
• riflessivo se la mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$  è suriettiva e continua. In tal caso ${\displaystyle J}$  è un isomorfismo tra spazi vettoriali topologici.

Si dimostra che uno spazio di Hausdorff ${\displaystyle X}$  localmente convesso è semi-riflessivo se e solo se ${\displaystyle X}$  con la topologia ${\displaystyle \sigma (X,X^{*})}$  ha la proprietà che i suoi sottoinsiemi chiusi e limitati sono debolmente compatti.

Uno spazio localmente convesso ${\displaystyle X}$  è riflessivo se e solo se è semi-riflessivo ed è uno spazio botte. Inoltre, il duale (rispetto alla topologia forte) di uno spazio semi-riflessivo è uno spazio botte.

• (EN) J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
• (EN) Fran\c{c}ois Tr\`{e}ves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, Inc., 1995, pp. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433, ISBN 0-486-45352-9.
• (EN) B. Beauzamy, Introduction to Banach spaces and their geometry , North-Holland (1982)
• (EN) M.M. Day, Normed linear spaces , Springer (1973)
• (EN) D. van Dulst, Reflexive and superreflexive Banach spaces , MC Tracts , 102 , Math. Centre (1978)

• Funzionale lineare
• Norma duale
• Spazio di Banach
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• Spazio normato
• Spazio topologico
• Spazio vettoriale
• Topologia polare

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio riflessivo, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) V.I. Sobolev, Reflexive space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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