Matrice hermitiana

Una matrice ${\displaystyle A}$  di elementi ${\displaystyle a_{i,j}}$  è hermitiana se l'elemento nella i-esima riga e j-esima colonna è uguale al complesso coniugato dell'elemento nella j-esima riga e i-esima colonna (per tutti gli indici i e j), ovvero:

${\displaystyle a_{i,j}={\bar {a}}_{j,i}}$ 

Se i suoi elementi sono tutti reali una matrice hermitiana coincide con la propria trasposta, ed è quindi una matrice simmetrica.

Spesso la matrice trasposta coniugata di ${\displaystyle A}$  è denotata con ${\displaystyle A^{\dagger }}$ , quindi se ${\displaystyle A}$  è hermitiana si scrive:

${\displaystyle A=A^{\dagger }}$ 

Si deve notare che, a seconda degli autori, l'asterisco ${\displaystyle A^{*}}$  è usato per indicare sia la complessa coniugata ${\displaystyle {\overline {A}}}$  che ${\displaystyle A^{\dagger }}$ .

Un esempio di matrice hermitiana è:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{pmatrix}}}$ 

Ogni matrice hermitiana è una matrice quadrata della forma ${\displaystyle A=B+iC}$ , dove ${\displaystyle B}$  è una matrice simmetrica (uguale alla propria trasposta) a componenti reali e ${\displaystyle C}$  è una matrice antisimmetrica (opposta alla propria trasposta) a componenti reali, e viceversa. In particolare, gli elementi sulla diagonale principale di una matrice hermitiana sono reali, ed una matrice a componenti reali è hermitiana se e solo se è simmetrica.

Sono matrici hermitiane la somma di due matrici hermitiane e l'inversa di una matrice hermitiana invertibile. Il prodotto di due matrici hermitiane ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$ , invece, è una matrice hermitiana se e solo se queste commutano, cioè se ${\displaystyle AB=BA}$ .

L'insieme delle matrici hermitiane di ordine n è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali di dimensione ${\displaystyle n^{2}}$ : gli n elementi sulla diagonale sono reali e gli n(n-1) altri elementi sono coppie di numeri coniugati complessi (${\displaystyle x+iy}$  e ${\displaystyle x-iy}$ ), quindi a coppie definiti da una coppia di numeri reali. Non è invece uno spazio vettoriale sui numeri complessi, in quanto ${\displaystyle iI_{n}}$  non è hermitiana (mentre lo è ${\displaystyle I_{n}}$ ).

Ogni matrice hermitiana ${\displaystyle A}$  di ordine finito è normale e per essa vale il teorema spettrale: ${\displaystyle A}$  è diagonalizzabile tramite una matrice unitaria e possiede solo autovalori reali; in particolare, autovettori relativi a distinti autovalori di ${\displaystyle A}$  sono tra loro ortogonali (secondo il prodotto hermitiano standard) ed è possibile trovare una base ortonormale di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  formata solo da autovettori di ${\displaystyle A}$ . Se n autovettori ortonormali ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$  di una matrice hermitiana ${\displaystyle A}$  sono scritti come colonne di una matrice ${\displaystyle U}$ , allora la decomposizione spettrale di ${\displaystyle A}$  è data da:

${\displaystyle A=UDU^{\dagger }}$ 

dove ${\displaystyle UU^{\dagger }=I=U^{\dagger }U}$  e dunque:

${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}u_{j}u_{j}^{\dagger }}$ 

dove ${\displaystyle \lambda _{j}}$  sono gli autovalori sulla diagonale della matrice diagonale ${\displaystyle D}$ .

Se gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti positivi la matrice è detta definita positiva, mentre se sono tutti non negativi, la matrice si dice semidefinita positiva.

Il determinante di una matrice hermitiana è reale. Infatti, ${\displaystyle \det(A)=\det(A^{\mathrm {T} })}$  da cui ${\displaystyle \det(A^{\dagger })=\det(A)^{*}}$ ; quindi se ${\displaystyle A=A^{\dagger }}$  allora ${\displaystyle \det(A)=\det(A)^{*}}$ . In alternativa, si può notare che il determinante è il prodotto degli autovalori, che sono reali.

• (EN) F.R. Gantmacher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
• (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Matrice normale
• Matrice simmetrica
• Matrice trasposta coniugata
• Teorema di Schur-Horn
• Quoziente di Rayleigh

• Matrice hermitiana, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Hermitian Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) A.L. Onishchik, Hermitian matrix, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  
• (EN) Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.

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