Complesso coniugato

Dato il numero complesso

${\displaystyle z=x+iy,}$ 

dove x e y sono numeri reali ed i è l'unità immaginaria, il complesso coniugato di ${\displaystyle z}$  si indica con ${\displaystyle {\bar {z}}}$  o ${\displaystyle z^{*}}$  ed è definito da

${\displaystyle {\bar {z}}=z^{*}=x-iy.}$ 

Per un numero complesso dato in forma esponenziale

${\displaystyle z=re^{i\phi },}$ 

con ${\displaystyle r>0,\ \phi \in \mathbb {R} }$ , il complesso coniugato è

${\displaystyle {\bar {z}}=z^{*}=re^{-i\phi }.}$ 

La coniugazione complessa è un automorfismo del campo dei numeri complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , in altre parole: l'applicazione ${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$  è una funzione biettiva dei numeri complessi con le seguenti proprietà:

${\displaystyle {\overline {z\pm w}}={\bar {z}}\pm {\bar {w}}\qquad }$  e ${\displaystyle \qquad {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}},\qquad }$  per ogni ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} .}$ 

Si hanno inoltre le seguenti relazioni fra complesso coniugato, inverso, valore assoluto, forma esponenziale e parte reale ed immaginaria: per ogni ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ , si ha

${\displaystyle {\overline {z^{-1}}}=({\bar {z}})^{-1},}$ 

${\displaystyle z{\bar {z}}=|z|^{2},}$ 

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}$ 

${\displaystyle {\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta },\quad {\text{con }}z=re^{i\theta },}$ 

${\displaystyle z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} (z),}$ 

${\displaystyle z-{\bar {z}}=2i\operatorname {Im} (z).}$ 

Inoltre se un polinomio ${\displaystyle p(x)}$  a coefficienti reali ha una radice (complessa) ${\displaystyle \lambda }$  allora anche ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$  è una radice di ${\displaystyle p(x)}$ . Infatti per quanto detto in precedenza si ha che

${\displaystyle p({\overline {\lambda }})={\overline {p(\lambda )}}=0.}$ 

Questo fatto è noto come teorema delle radici complesse coniugate.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Edoardo Sernesi, Geometria 1, Torino, Bollati Boringhieri, 1989, ISBN 978-88-339-5447-9.

• Numero complesso
• Parte immaginaria
• Parte reale

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul complesso coniugato

• numero complesso, coniugato di un, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Complex Conjugate, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Complex conjugate, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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