Limite superiore e limite inferiore

Data una successione di numeri reali ${\displaystyle ({x_{n}})}$ , siano:

${\displaystyle {b_{k}}=\sup\{x_{k},x_{k+1},\dots \}\quad k=1,2,\dots }$ 

${\displaystyle \beta =\inf\{b_{1},b_{2},\dots \}}$ 

Allora ${\displaystyle \beta }$  è il limite superiore di ${\displaystyle ({x_{n}})}$ :^[1]

${\displaystyle \beta =\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$ 

Si nota che:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }b_{k}=\beta }$ 

ed esiste una sottosuccessione ${\displaystyle {x_{n_{i}}}}$ di ${\displaystyle {x_{n}}}$  tale che:

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }x_{n_{i}}=\beta }$ 

e ${\displaystyle \beta }$  è il più grande numero che gode di tale proprietà.

In modo analogo si definisce il limite inferiore di una successione:^[2]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}$ 

Talvolta per indicare i limiti superiore e inferiore si usa la notazione:

${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ 

Se gli elementi della successione appartengono ad un insieme parzialmente ordinato del quale esistano gli estremi superiore e inferiore, i limiti superiore e inferiore esistono sempre, e si ha:

${\displaystyle -\limsup _{n\rightarrow \infty }(-x_{n})=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ 

Se la successione ${\displaystyle {x_{n}}}$  converge si ha:^[2]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(x_{n})=\liminf _{n\to \infty }(x_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ 

Le nozioni di limite inferiore e superiore sono collegate alla O-grande, in quanto tali entità forniscono delle restrizioni ai valori della successione soltanto al limite. In alternativa, avendo introdotto i concetti di valore limite e classe limite, i limiti superiore e inferiore di una successione possono essere definiti semplicemente come il massimo ed il minimo della classe limite di tale successione, che si dimostra esistere sempre.

Sia ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$  una funzione definita in un sottoinsieme ${\displaystyle A}$  di un qualsiasi spazio topologico, sia ${\displaystyle x_{0}}$  un punto di accumulazione e ${\displaystyle I(x_{0})}$  la famiglia di intorni di ${\displaystyle x_{0}}$  in ${\displaystyle A}$ , con ${\displaystyle U\in I(x_{0})}$ . Il limite inferiore di una funzione reale per ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$  viene definito come:

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\sup _{U}\,\left[\inf _{x\in (U\cap A\setminus \{x_{0}\})}f(x)\right]=\sup\{\,\inf\{f(x)|\;x\in (U\cap A\setminus \{x_{0}\})\,\}\,\}}$ 

Intuitivamente, il limite inferiore di ${\displaystyle f}$  per ${\displaystyle x}$  → ${\displaystyle x_{0}}$  è il valore massimo, al variare dell'intorno di ${\displaystyle x_{0}}$ , del più piccolo valore che la funzione assume in un singolo intorno.

Il limite superiore di una funzione reale per ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$  viene definito analogamente:

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{U}\,\left[\sup _{x\in (U\cap A\setminus \{x_{0}\})}f(x)\right]=\inf\{\,\sup\{f(x)|x\in (U\cap A\setminus \{x_{0}\})\,\}\,\}}$ 

Esso corrisponde dunque al valore più piccolo tra i valori massimi che la funzione assume in ogni intorno del punto.

Sfruttando le definizioni degli algoritmi di estremo superiore e inferiore, valgono queste caratteristiche dei due limiti, cioè

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=m\in \mathbb {R} \iff \left\{{\begin{matrix}\forall \varepsilon \!>\!0\;\exists \,U_{\varepsilon }(x_{0})|\;\forall x\in (U_{\varepsilon }\!\cap \!A\!\setminus \!\{x_{0}\})\implies f(x)>m-\varepsilon \\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\forall \varepsilon \!>\!0\;\forall \,U_{\varepsilon }(x_{0}),\exists x\in (U_{\varepsilon }\!\cap \!A\!\setminus \!\{x_{0}\})|\;f(x)<m+\varepsilon \end{matrix}}\right.}$ 

La prima riga afferma che definitivamente ogni livello più basso di ${\displaystyle m}$  è invalicabile, cioè tutto un intorno di ${\displaystyle x_{0}}$  ha immagini maggiori di ${\displaystyle m-\varepsilon }$  (corrispondente alla proprietà di essere un estremo superiore); la seconda che in ogni intorno si può trovare una ${\displaystyle x}$  con immagine arbitrariamente vicina a ${\displaystyle m}$  (dovuta all'essere un estremo inferiore).

Nel caso infinito, valgono invece queste proprietà:

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty \iff \forall K\!>\!0\;\forall \,U(x_{0}),\exists x\in (U\!\cap \!A\!\setminus \!\{x_{0}\})|\;f(x)<-K}$ 

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty \iff \forall K\!>\!0\;\exists \,U(x_{0}),\forall x\in (U\!\cap \!A\!\setminus \!\{x_{0}\})|\;f(x)>K}$ 

Le proprietà per il massimo limite si ricavano analogamente.

Inoltre, al contrario del limite, limite inferiore e superiore esistono sempre, in quanto calcolate con algoritmi di estremo superiore e estremo inferiore su insiemi reali. Vale inoltre che:

${\displaystyle \liminf _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\leq \limsup _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}$ 

e l'uguaglianza sussiste se e solo se esiste in ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$  il limite ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}$ , che sarà uguale al valore comune di ${\displaystyle \liminf }$  e ${\displaystyle \limsup }$ .

Si osserva che le definizioni precedenti hanno senso in ogni insieme parzialmente ordinato nel quale esistano gli estremi superiori e inferiori. Questo induce a estendere le definizioni a successioni aventi i componenti in ambienti più "esotici" dell'insieme dei numeri reali. In ogni reticolo completo esistono i sup e gli inf di qualsiasi sottoinsieme: quindi risulta particolarmente interessante considerare i limiti inferiore e superiore delle sequenze di elementi di reticoli completi.

Si osserva anche che l'insieme dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$  non costituisce un reticolo completo, ma che si ottiene la sua completezza aggiungendogli l'infinito negativo e il positivo: in effetti l'insieme ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$  costituisce un insieme totalmente ordinato completo.

In questo ambiente una successione ${\displaystyle \{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$  converge se e solo se ${\displaystyle \liminf x_{n}=\limsup x_{n}}$ , e in tale caso ${\displaystyle \lim x_{n}}$  è uguale al loro comune valore (si osserva che quando si opera nel solo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , non si prende in considerazione la divergenza a ${\displaystyle -\infty }$  o a ${\displaystyle +\infty }$ ).

Come esempio si consideri la sequenza data da ${\displaystyle x_{n}=\sin n}$ . In virtù del fatto che pi greco è un numero irrazionale, si dimostra che ${\displaystyle \liminf x_{n}=-1}$  e ${\displaystyle \limsup x_{n}=+1}$ .

Se ${\displaystyle I\equiv \liminf x_{n}}$  e ${\displaystyle S\equiv \limsup x_{n}}$ , allora l'intervallo ${\displaystyle [I,S]}$  potrebbe non contenere nessuno dei numeri ${\displaystyle x_{n}}$ , ma ogni ampliamento anche molto piccolo ma fissato ${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ]}$  (dipendente da un ${\displaystyle \epsilon >0}$  "arbitrariamente piccolo") contiene gli ${\displaystyle x_{n}}$ , al più ad eccezione di un insieme finito di indici n. In effetti l'intervallo ${\displaystyle [I,S]}$  è il più piccolo intervallo chiuso con questa proprietà.

Un esempio tratto dalla teoria dei numeri riguarda:

${\displaystyle \liminf _{n}(p_{n+1}-p_{n})}$ 

dove con ${\displaystyle p_{n}}$  si denota l'n-esimo numero primo. Il valore di questo limite inferiore si è congetturato essere 2: questa è la congettura dei numeri primi gemelli, tuttora indimostrata; il risultato più avanzato (ottenuto tra il 2013^[3] e il 2014^[4]) è che tale limite sia minore o uguale a 246.

L'insieme delle parti ${\displaystyle P(X)}$  di un insieme ${\displaystyle X}$  costituisce un reticolo completo e talora risulta utile prendere in considerazione i limiti superiore e inferiore di successioni in ${\displaystyle P(X)}$ , cioè successioni di sottoinsiemi di ${\displaystyle X}$ . Se ${\displaystyle X_{n}}$  è una tale successione, allora un elemento ${\displaystyle a}$  di ${\displaystyle X}$  appartiene a ${\displaystyle \liminf X_{n}}$  se e solo se esiste un intero naturale ${\displaystyle n_{0}}$  tale che ${\displaystyle a}$  appartiene ad ${\displaystyle X_{n}}$  per tutti gli ${\displaystyle n>n_{0}}$ . L'elemento ${\displaystyle a}$  appartiene a ${\displaystyle \limsup X_{n}}$  se e solo se per ogni intero naturale ${\displaystyle n_{0}}$  esiste un indice ${\displaystyle n>n_{0}}$  tale che ${\displaystyle a}$  appartiene a ${\displaystyle X_{n}}$ . In altre parole,${\displaystyle \limsup X_{n}}$  consiste di quegli elementi che si trovano in insiemi della forma ${\displaystyle X_{n}}$  per una infinità di n, mentre ${\displaystyle \liminf X_{n}}$  consiste di quegli elementi che sono esclusi al più da un numero finito di ${\displaystyle X_{n}}$ .

Usando le notazioni usuali della teoria degli insiemi, l'infimo di una successione di insiemi è l'intersezione numerabile degli insiemi, cioè il più esteso insieme incluso in tutti gli insiemi da intersecare:

${\displaystyle \inf \left\{\,X_{n}:n=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}X_{n}}$ 

La successione ${\displaystyle \{I_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ , dove con ${\displaystyle I_{n}}$  si denota l'infimo degli insiemi con indice maggiore o uguale a n, è non decrescente, in quanto ${\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}}$ . Quindi l'unione degli infimi relativi agli indici da 1 a n è uguale all'n-esimo infimo. Facendo andare questa successione di insiemi al limite:

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$ 

Il limsup può essere definito simmetricamente. Il supremo di una successione di insiemi è il più piccolo insieme che contiene tutti gli insiemi, cioè l'unione numerabile degli insiemi.

${\displaystyle \sup \left\{\,X_{n}:n=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}X_{n}}$ 

Il limsup è invece la intersezione numerabile di questa successione non crescente (ogni supremo è un sottoinsieme del supremo che lo precede)

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)}$ 

Per un esempio vedi lemma di Borel-Cantelli. Quando questi due insiemi coincidono si parla di insieme limite della successione ${\displaystyle (X_{n})_{n}}$ .

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) H. Amann, Escher, Joachim, Analysis, Basel; Boston: Birkhäuser, 2005, ISBN 0-8176-7153-6.
• (EN) Mario O González, Classical complex analysis, New York: M. Dekker, 1991, ISBN 0-8247-8415-4.

• Classe limite
• Estremo superiore e estremo inferiore
• Funzione semicontinua
• Limite (matematica)
• Successione (matematica)

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