Classe limite

Sia ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n}}$  una successione di numeri reali; si dice che ${\displaystyle \alpha }$  è un valore limite della successione se esiste una sottosuccessione ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}_{k}}$  per cui

${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }{x_{n_{k}}}=\alpha }$ .

Non è necessario che la successione sia regolare (cioè convergente o divergente); infatti anche una successione irregolare ammette sempre sottosuccessioni regolari.

La classe limite della successione è l'insieme dei valori limite^[1]; cioè, se ${\displaystyle C}$  indica la classe limite di ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n}}$ :

${\displaystyle C=\{\alpha \in \mathbb {R} :\exists \{x_{n_{k}}\}_{k}{\underset {k\to +\infty }{\ \ \longrightarrow \ \alpha }}\}}$ .

• ${\displaystyle x_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}}$ ;

In questo caso ${\displaystyle C=\{-1,0,1\}}$ ; infatti ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-1,\cdots \}}$ , quindi una sottosuccessione può constare solo dei valori ${\displaystyle 0,1,-1}$ ; le sottosuccessioni banali del tipo ${\displaystyle \{x_{2n}\}_{n}=\{0,0,0,\cdots \},\{x_{4n+1}\}=\{1,1,1,\cdots \},\{x_{4n-1}\}=\{-1,-1,-1,\cdots \}}$ , ad esempio, ammettono come valori limite ${\displaystyle 0,1,-1}$  rispettivamente.

• ${\displaystyle x_{n}=n\sin {\frac {n\pi }{2}}}$ ;

In questo caso ${\displaystyle C=\{-\infty ,0,+\infty \}}$ ; infatti ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}=\{0,1,0,-2,0,3,\cdots \}}$ , e una sottosuccessione deve valere definitivamente zero o in alternativa non essere limitata.

La classe limite di una successione non è mai vuota. Infatti, se ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n}}$  è limitata, allora la sua chiusura è compatta, e quindi la successione ammette una sottosuccessione convergente (teorema di Bolzano-Weierstrass). Se invece non è limitata superiormente (o inferiormente), si può trovare una sottosuccessione del tipo ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j}}$  con

${\displaystyle x_{j}={\underset {i<j}{\max }}{\ x_{i}}}$ 

(o

${\displaystyle x_{j}={\underset {i<j}{\min }}{\ x_{i}}}$ )

che ammette come limite ${\displaystyle +\infty }$  (o ${\displaystyle -\infty }$ ).

L'intersezione tra la classe limite e l'insieme dei numeri reali (cioè la classe limite cui sono stati tolti eventualmente i punti all'infinito) è un insieme chiuso. Infatti, se ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$  è di accumulazione per ${\displaystyle C\cap \mathbb {R} }$ , allora esistono ${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n},\cdots }$  che avvicinano indefinitamente ${\displaystyle \alpha }$ ; questi ${\displaystyle \alpha _{i}}$  sono limiti di sottosuccessioni di ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ , quindi possiamo trovare una sottosuccessione che si avvicina indefinitamente ad ${\displaystyle \alpha }$ , usando come "paletti" i valori limite ${\displaystyle \alpha _{i}}$  (cui possiamo avvicinarci a piacere per sottosuccessioni).

Inoltre la classe limite, intesa come sottoinsieme di ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$  (il cosiddetto ${\displaystyle \mathbb {R} }$  esteso) ammette sempre massimo e minimo; infatti, se ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  è illimitata (ad esempio superiormente), allora ${\displaystyle +\infty \in C}$ , e ${\displaystyle \max C=+\infty }$ ; altrimenti, se ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  è limitata (ad esempio superiormente), allora lo è anche ${\displaystyle C}$  (o esisterebbe un valore limite strettamente maggiore dell'estremo superiore della successione), e poiché ${\displaystyle C\cap \mathbb {R} }$  è chiuso, esso contiene il proprio superiore, e quindi ammette massimo. Un analogo ragionamento prova che la classe limite ammette minimo.^[1]

Data una successione, si definisce limite superiore di tale successione il massimo della sua classe limite^[1]:

${\displaystyle {\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\overline {\lim }}}{x_{n}}:=\max {C}}$ ;

similmente si definisce il limite inferiore di tale successione il minimo della sua classe limite:

${\displaystyle {\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\underline {\lim }}}{x_{n}}:=\min {C}}$ .

È chiaro, per le argomentazioni del paragrafo precedente, che tali valori esistono sempre. In generale, essi saranno differenti (ovviamente si avrà ${\displaystyle \liminf x_{n}\leq \limsup x_{n}}$ ); se tuttavia questi valori coincidono, se cioè la classe limite consta di un solo elemento, allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso valore limite. Questa è condizione necessaria e sufficiente per garantire la convergenza della successione principale, cioè:

${\displaystyle \exists \lim _{n\to +\infty }{x_{n}}\in {\overline {\mathbb {R} }}\iff {\underset {n\to +\infty }{\liminf }}{\ x_{n}}={\underset {n\to +\infty }{\limsup }}{\ x_{n}}\iff |C|=1}$ ,

dove ${\displaystyle |\cdot |}$  indica la cardinalità dell'insieme.

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

• Successione (matematica)
• Sottosuccessione
• Limite di una successione
• Limite superiore e limite inferiore

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