Integrale improprio

Un integrale improprio è un limite della forma:^[3]

${\displaystyle \lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ 

oppure:

${\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$ 

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

 

Si possono presentare tre casi:

• Sia ${\displaystyle f\colon [a,+\infty )\to \mathbb {R} }$  continua. Allora si pone:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim _{z\to +\infty }\int _{a}^{z}f(x)dx.}$ 

Ad esempio:

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{\alpha }}}dx={\frac {1}{\alpha -1}},\quad }$  se ${\displaystyle \alpha >1.}$ 

• Sia ${\displaystyle f:(-\infty ,b]\to \mathbb {R} }$  continua. Allora si pone:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{z\to -\infty }\int _{z}^{b}f(x)dx.}$ 

Ad esempio:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}x^{n}e^{x}dx=(-1)^{n+1}n!,}$ 

per ${\displaystyle n}$  intero non negativo.

• Sia ${\displaystyle f\colon (-\infty ,+\infty )\to \mathbb {R} }$  continua. Allora si pone, sfruttando la proprietà dell'additività:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int _{c}^{+\infty }f(x)dx,}$ 

dove ${\displaystyle c}$  è un punto qualunque. Ad esempio:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$ 

Se il limite da calcolare esiste finito si dice che la funzione ${\displaystyle f}$  è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente. Se invece il limite vale ${\displaystyle +\infty }$  o ${\displaystyle -\infty ,}$  si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste oppure è indeterminato.^[4]

 

Si possono presentare tre casi:

• Sia ${\displaystyle f\colon [a,b)\to \mathbb {R} }$  continua divergente in ${\displaystyle b}$ . Allora si pone:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx.}$ 

Ad esempio:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\tan xdx.}$ 

• Sia ${\displaystyle f\colon (a,b]\to \mathbb {R} }$  continua divergente in ${\displaystyle a}$ . Allora si pone:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx.}$ 

Ad esempio:

${\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-1}}dx.}$ 

• Sia ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$  continua divergente in ${\displaystyle a}$  e in ${\displaystyle b}$ . Allora si pone:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+} \atop \delta \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\delta }f(x)dx.}$ 

Se in uno di questi casi il limite esiste finito si dice che la funzione ${\displaystyle f}$  è integrabile nel rispettivo intervallo di integrazione e che l'integrale è convergente, mentre se il limite vale ${\displaystyle +\infty }$  o ${\displaystyle -\infty }$  si dice che l'integrale è divergente. Altrimenti si dice che l'integrale non esiste oppure che è indeterminato.

Se esiste il limite di ${\displaystyle f(x)}$  per ${\displaystyle x}$  che tende a ${\displaystyle +\infty }$ , allora condizione necessaria affinché un integrale sia convergente è che la funzione sia limitata al divergere dell'argomento. Infatti, se ciò non accadesse sarebbe possibile individuare una costante ${\displaystyle M}$  tale che sia ${\displaystyle |f(x)|>M}$  per ${\displaystyle |x|>x_{0}}$ , e per la monotonia e l'additività dell'integrale si avrebbe:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)dx=\int _{a}^{x_{0}}f(x)dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }f(x)dx\geq \int _{a}^{x_{0}}f(x)dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }Mdx=+\infty }$ 

in quanto il secondo addendo è uguale al prodotto tra una costante non nulla e la misura dell'intervallo ${\displaystyle [x_{0},+\infty )}$ , che è infinita. Si possono avere anche dei casi in cui l'integrale sia convergente, ma il limite della funzione non esista. Ad esempio, data una funzione ${\displaystyle f(x)}$  che vale ${\displaystyle 1}$  se ${\displaystyle x}$  è intero e ${\displaystyle 0}$  in ogni altro punto, si ha che tale funzione non converge a ${\displaystyle 0}$  (è possibile trovare una successione di valori della funzione che è costantemente 1) ma ha integrale ${\displaystyle 0}$ , perché l'area sotto la funzione in ogni intervallo finito è ${\displaystyle 0}$ .

Una condizione necessaria e sufficiente affinché ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)dx}$  esista finito è che per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esista ${\displaystyle \gamma >0}$  tale che per ogni ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\gamma }$  si abbia:

${\displaystyle \left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon .}$ 

Siano ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle g}$  due funzioni definite nell'intervallo ${\displaystyle [a,+\infty )}$ . Riprendendo la teoria dei limiti si possono definire due criteri di integrabilità.^[5]

Se si verifica che:

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq c\cdot g(x),\quad \forall x\in [a,+\infty ),}$ 

per una certa costante ${\displaystyle c}$ , allora si ha che:

• se ${\displaystyle g}$  è integrabile in ${\displaystyle [a,+\infty ),}$  allora anche ${\displaystyle f}$  è integrabile in ${\displaystyle [a,+\infty );}$ 
• se ${\displaystyle f}$  è divergente in ${\displaystyle [a,+\infty ),}$  allora anche ${\displaystyle g}$  è divergente in ${\displaystyle [a,+\infty ).}$ 

  Lo stesso argomento in dettaglio: Stima asintotica § Successioni asintotiche.

Se ${\displaystyle f>0}$ , ${\displaystyle g>0}$  e ${\displaystyle f\sim g}$  per ${\displaystyle x\to +\infty }$  (quando cioè il limite del rapporto tra le funzioni è un numero finito diverso da zero), allora ${\displaystyle f}$  è integrabile se e solo se ${\displaystyle g}$  è integrabile. Inoltre, se ${\displaystyle f=o(g)}$  allora ${\displaystyle f}$  è integrabile se ${\displaystyle g}$  è integrabile.

Data una funzione ${\displaystyle f(x)}$ , l'integrale improprio di ${\displaystyle f}$  tra due estremi ${\displaystyle a,b}$  si dice assolutamente convergente se converge l'integrale di ${\displaystyle |f(x)|}$  tra ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$ .

Se un integrale improprio è assolutamente convergente, allora è convergente, mentre non vale l'implicazione inversa^[6]. Il criterio della convergenza assoluta si usa quando ${\displaystyle f(x)}$  non presenta segno costante in un intorno dell'estremo in cui l'integrale è improprio, ed è quindi impossibile usare gli altri criteri.

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.verde - Vol.5, Zanichelli, 2013, ISBN 978-88-08-23610-4.
• Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.

• Integrale
• Integrale di Riemann
• Integrale di Lebesgue
• Integrale multiplo improprio
• Limite (matematica)

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'integrale improprio

• integrale improprio, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Integrale improprio, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Integrale improprio, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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