Sigma additività

Sia ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  un'algebra di insiemi. Una funzione ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\to [-\infty ,\infty ]}$  (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se, ${\displaystyle \forall \,A,B\in {\mathcal {A}}}$  disgiunti si ha:

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$ 

La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots {},A_{n},\dots {}\in {\mathcal {A}}}$  tra loro disgiunti e tali che la loro unione numerabile stia ancora in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  si ha:^[1]

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$ 

Ogni funzione σ-additiva è una funzione (finitamente) additiva, ma non vale il contrario.

Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può assumere sia ${\displaystyle -\infty }$  che ${\displaystyle +\infty }$  come valori, perché l'espressione ${\displaystyle \infty -\infty }$  è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})}$ 

per ogni collezione finita ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots {},A_{n}}$  di insiemi disgiunti in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ .

Utili proprietà di una funzione additiva ${\displaystyle \mu }$  sono:

• ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$ .
• Se ${\displaystyle \mu }$  è non negativa (cioè ${\displaystyle \forall \,E\in {\mathcal {A}}\;\;\mu (E)\geq 0}$ ) e ${\displaystyle A\subset B}$ , allora ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$ .
• Se ${\displaystyle A\subset B}$  allora ${\displaystyle \mu (B-A)=\mu (B)-\mu (A)}$ .
• Dati ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)}$ .

Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione ${\displaystyle \mu }$  definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che:

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}0\in A\\0&{\mbox{ se }}0\notin A\end{cases}}}$ 

• (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration, Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
• (EN) N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear operators. General theory, 1, Interscience (1958)

• Algebra di insiemi
• Funzione additiva
• Funzione subadditiva
• Misura (matematica)
• Sigma-algebra

• (EN) V.V. Sazonov, Algebra of sets, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) σ-algebra, in PlanetMath.

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