Successione di Sylvester

La successione di Sylvester è formata dai denominatori coprimi di una frazione egiziana (essa è la somma di frazioni che hanno al numeratore l'unità e al denominatore numeri interi positivi distinti fra loro, per esempio 1/2+1/3. Si dimostra che ogni numero razionale positivo, a/b, può essere scritto come frazione egiziana).

La somma delle frazioni ottenute mettendo al denominatore i numeri della successione di Sylvester tende ad 1. I suoi primi termini sono

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443^[1]

I termini della successione possono essere calcolati nel seguente modo:

a_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}a_{i}=1+(a_{n-1})^{2}-a_{n-1}

.

Mettendo 1 come numeratore a questi numeri e sommando via via i risultati delle frazioni così ottenute, si ottiene una somma che converge a 1, come mostra la tabella seguente:

2	1/2 ...	1/2	0.5
3	... + 1/3 ...	5/6	0.833...
7	... + 1/7 ...	41/42	0.976190476190476...
43	... + 1/43 ...	1805/1806	0.99944629014396456257...
1807	... + 1/1807 ...	3263441/3263442	0.99999969357506583540...
3263443	... + 1/3263443 ...	10650056950805/10650056950806	0.99999999999990610379...
10650056950807	... + 1/10650056950807 ...	113423713055421844361000441/113423713055421844361000442	0.99999999999999999999...

Possiamo quindi scrivere

\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{1 \over {a_{i}}}=1

La successione di Sylvester è utile per ottenere approssimazioni razionali di numeri irrazionali, usando un algoritmo goloso (Algoritmo greedy, un algoritmo di ottimizzazione che procede a costruire in ciascuno dei suoi stadi successivi una soluzione ottimale locale, con la speranza di trovare la soluzione ottimale globale).

Sebbene sia ovvio che i termini della sequenza di Sylvester siano coprimi, non si sa se essi siano tutti liberi da radici (tutti i termini conosciuti lo sono).

Nell'insieme delle soluzioni del problema di Znám per una lunghezza k data, è piacevole il fatto che almeno una delle soluzioni conterrà i primi k - 2 numeri della sequenza di Sylvester.