Seminorma

In algebra lineare, una seminorma è una generalizzazione del concetto di norma che, a differenza di quest'ultima, può assegnare lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero.

La nozione di seminorma è utilizzata in vari ambiti dell'analisi funzionale. Una famiglia numerabile di seminorme, per esempio, consente di indurre una topologia su uno spazio di Fréchet.

Una seminorma definita su uno spazio vettoriale ${\displaystyle X}$ sul campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, che può essere quello dei numeri reali o complessi, è una funzione:

${\displaystyle {\begin{matrix}\|\cdot \|:&X&\longrightarrow &[0,+\infty )\\&x&\mapsto &\|x\|\end{matrix}}}$

che verifica la condizione di omogeneità:

${\displaystyle \|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|\qquad \forall \lambda \in \mathbb {K} }$

e la disuguaglianza triangolare:^[1]

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\qquad \forall x,y\in X}$

Uno spazio vettoriale topologico ${\displaystyle X}$ nel quale è definita una famiglia ${\displaystyle P}$ di seminorme è uno spazio localmente convesso se:

${\displaystyle \cap _{p\in P}\{x\in X|p(x)=0\}=\{0_{X}\}}$

Uno spazio localmente convesso è infatti definito come uno spazio vettoriale ${\displaystyle X}$ nel quale è definita una famiglia di seminorme ${\displaystyle \{\|\cdot \|_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$. La topologia naturale che caratterizza uno spazio localmente convesso è la topologia più debole tale per cui le seminorme della famiglia sono funzioni continue, e continua è l'operazione di addizione.

Una base di intorni del punto ${\displaystyle x_{0}}$ per tale topologia si ottiene definendo per ogni sottoinsieme finito ${\displaystyle B}$ di ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle U_{B,\varepsilon }(x_{0})=\{x\in V:\|x-x_{0}\|_{\alpha }<\varepsilon \ \alpha \in B\}\qquad \forall \epsilon >0}$

Si dimostra che se uno spazio localmente convesso è metrizzabile, allora è possibile definire una topologia generata da una famiglia numerabile di seminorme ed il punto 0 ha una base numerabile di intorni.^[2] Uno spazio localmente convesso completo e metrizzabile è detto spazio di Fréchet.^[3]

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, 2ª ed., New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0-07-054236-8.

• Distanza (matematica)
• Norma (matematica)
• Spazio di Fréchet
• Spazio localmente convesso
• Topologia operatoriale

• (EN) Eric W. Weisstein, Seminorma, su MathWorld, Wolfram Research.

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