Massa di chirp

La massa di chirp del sistema compatto di una stella binaria con massa delle componenti ${\displaystyle m_{1}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$ è data da:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}}$.^[1][2]

Nella teoria della relatività generale, la massa di chirp è il parametro di massa che, all'ordine principale, determina l'evoluzione dell'ampiezza e della frequenza del segnale di un'onda gravitazionale emessa dal sistema binario nella fase di spiraleggiamento.^[3] All'ordine più basso di una espansione post-newtoniana, l'evoluzione della fase della forma d'onda dipende solamente dalla massa di chirp:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {c^{3}}{G}}\left({\frac {5}{96}}\pi ^{-8/3}f^{-11/3}{\dot {f}}\right)^{3/5}}$

dove ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle {\dot {f}}}$ sono rispettivamente la velocità della luce nel vuoto, la costante di gravitazione universale, la frequenza dell'onda gravitazionale osservata e la derivata prima di ${\displaystyle f}$ rispetto al tempo.^[4][5] Di conseguenza, nell'astronomia delle onde gravitazionali, la massa di chirp può essere accuratamente misurata dai rilevatori a partire dalla frequenza e dalla distorsione gravitazionale di un'onda gravitazionale.^[6]

Riscrivendo la soprastante equazione in modo da ottenere l'evoluzione della frequenza delle onde gravitazionali provenienti dalla coalescenza di una stella binaria si ottiene:^[7]

${\displaystyle {\dot {f}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}}$

Integrando tale equazione rispetto al tempo si ha quindi:^[7]

${\displaystyle {\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}t+{\frac {3}{8}}f^{-8/3}+C=0}$

dove C è la costante di integrazione. Inoltre, ponendo ${\displaystyle x\equiv t}$ e ${\displaystyle y\equiv {\frac {3}{8}}f^{-8/3}}$, la massa di chirp può essere calcolata dall'inclinazione della retta ottenuta dalla rappresentazione su un piano cartesiano dei punti di coordinate (x, y).

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