Icosaedro rombico

Icosaedro rombico
Tipo	Poliedro convesso
Forma facce	Rombi congruenti
Nº facce	20
Nº spigoli	40
Nº vertici	22
Valenze vertici	3,4,5
Duale	Pentatriromboedro ellissoidale
Manuale

In geometria l'icosaedro rombico, [Pltp.22.40.20], detto anche icosaedro d'oro, per la particolare caratteristica delle facce, è un poliedro convesso, ordinario, equilatero, equiedro, non inscrittibile alla sfera, a forma ellissoidale di rotazione, le cui facce sono dei rombi congruenti.

L'icosaedro rombico corrisponde al 5-zonoedro e, come il romboedro (che comprende il cubo) e il dodecaedro rombico, fanno parte della classe dei poliedri rombici (insieme al triacontaedro rombico).

L'icosaedro rombico è stato definito e studiato, nel 1885, dal matematico russo E. S. Fedorov (1853–1919).

• L'icosaedro rombico è interposto in un fascio di sei piani paralleli, ${\displaystyle \pi _{0}}$, ${\displaystyle \pi _{1}}$, ${\displaystyle \pi _{2}}$, ${\displaystyle \pi _{3}}$, ${\displaystyle \pi _{4}}$, ${\displaystyle \pi _{5}}$, equidistanti tra loro, perpendicolari all'asse ${\displaystyle G}$ del poliedro.
  • I piani ${\displaystyle \pi _{0}}$ e ${\displaystyle \pi _{5}}$ intercettano, ciascuno, un vertice del poliedro.
  • I piani ${\displaystyle \pi _{1}}$ e ${\displaystyle \pi _{4}}$ intercettano, ciascuno, cinque vertici del poliedro che sono vertici di un pentagono regolare di lato ${\displaystyle d}$.
  • I piani ${\displaystyle \pi _{2}}$ e ${\displaystyle \pi _{3}}$ intercettano, ciascuno, cinque vertici del poliedro che sono vertici di un pentagono regolare di lato ${\displaystyle D}$.
• L'icosaedro rombico stesso è inserito (parzialmente inscritto) in un ellissoide di rotazione di semiassi ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c=b}$, il cui asse di rotazione è l'asse ${\displaystyle G}$ del poliedro.
  • Appartengono all'ellissoide soltanto i dodici vertici del poliedro intercettati dai piani ${\displaystyle \pi _{0}}$, ${\displaystyle \pi _{2}}$, ${\displaystyle \pi _{3}}$ e ${\displaystyle \pi _{5}}$, mentre i dieci vertici intercettati dai piani ${\displaystyle \pi _{1}}$ e ${\displaystyle \pi _{4}}$ rimangono interni all'ellissoide, leggermente scosati dalla superficie di questo.
• Dualità: l'icosaedro rombico in contesto è duale del poliedro pentatriromboedro ellissoidale, che, nella terminologia generale, potrebbe denominarsi antiprisma tritrapezoide pentagonale, avente cioè, per facce: 2 pentagoni regolari, 10 trapezoidi, che nel caso specifico sono rombi, e 10 triangoli isosceli che, nel caso specifico, sono triangoli equilateri (all'antiprisma tritrapezoide triangolare corrisponderebbe l'ottaedro, mentre all'antiprisma tritrapezoide quadrangolare corrisponderebbe il cubottaedro).

Le diagonali ${\displaystyle D}$ e ${\displaystyle d}$ di ciascuna faccia sono in rapporto aureo, vale cioè la relazione:

${\displaystyle {\frac {D}{d}}={\frac {d}{D-d}},}$

da cui

${\displaystyle d={\frac {D}{2}}({\sqrt {5}}-1),}$

oppure

${\displaystyle D={\frac {d}{2}}({\sqrt {5}}+1).}$

A tale determinazione si perviene mediante laboriosi calcoli algebrici, trigonometrici e di geometria analitica, che forniscono le seguenti dimensioni:

• Lunghezza del lato della faccia: ${\displaystyle L}$.
• Numero lati del poligono di riferimento: 5.
• Lunghezza diagonale maggiore della faccia:

${\displaystyle D={\frac {L}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}.}$

• Lunghezza diagonale minore della faccia:

${\displaystyle d={\frac {L}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}.}$

• Ampiezza angoli ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ della faccia:

${\displaystyle \arcsin(\alpha /2)=d/2,\qquad \arcsin(\beta /2)=D/2,}$

dalle quali:

${\displaystyle \alpha \approx 63,42^{\circ }\approx 63^{\circ }25',\qquad \beta \approx 116,58^{\circ }\approx 116^{\circ }35'.}$

• Distanza fra i piani del fascio:

${\displaystyle H={\frac {L}{5}}{\sqrt {5}}.}$

• Lunghezza dell'asse del poliedro:

${\displaystyle G=5H=L{\sqrt {5}}.}$

• Equazione dell'ellissoide di rotazione:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

dove

${\displaystyle a={\frac {L}{2}}{\sqrt {5}},}$

${\displaystyle b=c={\frac {L{\sqrt {3}}}{6}}(5+3{\sqrt {5}}).}$

• Indice di deformazione (o di schiacciamento essendo minore di 1):

${\displaystyle g={\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {9-3{\sqrt {5}}}}\approx 0,75694.}$

La costruzione, sia del modello in cartoncino o altro materiale (gesso, argilla, ecc.), che del modello in filo metallico dello scheletro essenziale (vertici e spigoli) del poliedro, non presenta particolari difficoltà.

• [Bibl.1] - Henry M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
• [Bibl.2] - Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
• [Bibl.3] -, Giochi d’ingegno (Espana: Juegos de ingenio) – N°.90, Milano, Fabbri, 2008, ISSN 1723-9184.

• (EN) Eric W. Weisstein, Icosaedro rombico, su MathWorld, Wolfram Research.

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