Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

Andaikan ${\displaystyle \triangle ABC}$  memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari ${\displaystyle r}$  dan pusat ${\displaystyle I}$ . Misalkan ${\displaystyle a}$  menjadi panjangnya ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle b}$  adalah panjang ${\displaystyle AC}$ , dan ${\displaystyle c}$  panjangnya ${\displaystyle AB}$ . Juga misalkan ${\displaystyle T_{A}}$ , ${\displaystyle T_{B}}$ , dan ${\displaystyle T_{C}}$  menjadi titik singgung dimana lingkaran dalam menyinggung ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AC}$ , dan ${\displaystyle AB}$ .

Pusat lingkaran dalam merupakan titik dimana garis bagi dalam ${\displaystyle \angle ABC,\angle BCA,{\text{ dan }}\angle BAC}$  bertemu.

Jarak dari verteks ${\displaystyle A}$  ke pusat lingkaran dalam ${\displaystyle I}$  adalah^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}}$$ 

Korodinat trilinear untuk sebuah titik dalam segitiga merupakan nisbah dari semua jarak ke sisi-sisi segitiga. Karena pusat lingkaran dalam adalah jarak yang sama dari semua sisi-sisi dari segitiga, koordinat trilinear untuk pusat lingkaran dalam adalah^[8]

$${\displaystyle 1:1:1}$$ 

Koordinat barisentrik untuk sebuah titik dalam sebuah segitiga memberikan bobot sehingga titiknya adalah rerata berbobot dari posisi verteks segitiga. Koordinat barisentrik untuk pusat lingkaran dalam diberikan oleh^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle a:b:c}$$ 

dimana ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , dan ${\displaystyle c}$  adalah panjang sisi-sisi dari segitiga, atau dengan setara (menggunakan hukum sinus) oleh

$${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$$ 

dimana ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , dan ${\displaystyle C}$  adalah sudut-sudut pada tiga verteksnya.

Koordinat Cartesius dari pusat lingkaran dalam adalah sebuah rerata berbobot dari koordinat dari tiga verteks menggunakan panjang sisi dari segitiga relatif terhadap keliling (yaitu, menggunakan koordinat barisentrik yang diberikan di atas, ternormalkan untuk menjumlahkan kesatuannya) sebagai bobot. Bobotnya positif sehingga pusat lingkaran dalam terletak di dalam segitiga ketika dinyatakan di atas. Jika ketiga verteksnya terletak di ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ , ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$ , dan ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ , dan sisi-sisinya berlawanan dengan verteks-verteks ini memiliki padanan panjang ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , dan ${\displaystyle c}$ , maka pusat lingkaran dalamnya di^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}}$$ 

Jari-jari lingkaran dalam ${\displaystyle r}$  dalam sebuah segitiga dengan sisi-sisi panjang ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$  diberikan oleh^[9]

$${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}$$ 

..., dimana $${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$$ Lihat rumus Heron

Melambangkan pusat lingkaran dalam ${\displaystyle \triangle ABC}$  sebagai ${\displaystyle I}$ , jarak dari pusat lingkaran dalam ke verteks digabungkan dengan panjang dari sisi-sisi segitiga mematuhi persamaannya^[10]

$${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}$$ 

Sebagai tambahan,^[11]

$${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}}$$ 

dimana ${\displaystyle R}$  dan ${\displaystyle r}$  masing-masing adalah radius lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Kumpulan pusat-pusat segitiga dapat diberikan struktur grup di bawah perkalian secara koordinat mengenai koordinat trilinear, dalam grup ini, pusat lingkaran dalam membentuk elemen identitas.^[12]

Jarak dari sebuah verteks ke dua titik singgung paling terdekat adalah sama; misalnya:^[13]

$${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a)}$$ 

Andaikan titik-titik singgung dari lingkaran dalam membagi sisi-sisi menjadi panjang ${\displaystyle x}$  dan ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle y}$  dan ${\displaystyle z}$ , serta ${\displaystyle z}$  dan ${\displaystyle x}$ . Maka lingkaran dalam memiliki jari-jari^[14]

$${\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}$$ 

dan luas dari segitiganya adalah

$${\displaystyle \Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}}$$ 

Jika tingginya dari sisi-sisi panjang ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , dan ${\displaystyle c}$  adalah ${\displaystyle h_{a}}$ , ${\displaystyle h_{b}}$ , dan ${\displaystyle h_{c}}$ , maka jari-jari lingkaran dalam ${\displaystyle r}$  adalah sepertiga dari purata harmonik tinggi ini; yaitu,^[15]

$${\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}}$$ 

Darab dari jari-jari lingkaran dalam ${\displaystyle r}$  dan jari-jari lingkaran luar ${\displaystyle R}$  dari sebuah segitiga dengan sisi-sisi ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , dan ${\displaystyle c}$  adalah^{[16]:189,#298(d)}

$${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}}$$ 

Beberapa hubungan di sekitar sisi-sisi, jari-jari lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran luar adalah:^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r\end{aligned}}}$$ 

Setiap garis melalui sebuah segitiga yang kedua luas segitiga dan kelilingnya terbelah dua menuju ke pusat lingkaran segitiga (pusat lingkaran dalamnya). Terdapat baik satu, dua, atau tiga ini untuk suatu segitiga yang diberikan.^[18]

Melambangkan pusat dari lingkaran dalam ${\displaystyle \triangle ABC}$  sebagai ${\displaystyle I}$ , kita mempunyai^[19]

$${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}$$ 

dan^[20]:121,#84

$${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}}$$ 

Jari-jari lingkaran dalam tidak lebih besar daripada sepersembilan jumlah dari tinggi.^[21]:289

Jarak kuadrat dari pusat ${\displaystyle I}$  ke pusat lingkaran luar ${\displaystyle O}$  diberikan oleh^[22]:232

$${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r)}$$ 

dan jarak dari pusat lingkaran dalam dengan pusat ${\displaystyle N}$  dari lingkaran sembilan adalah^[23]:232

$${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R}$$ 

Pusat lingkaran dalam terletak di segitiga tengah (yang verteks-verteksnya merupakan titik tengah dari sisinya).^{[24]:233, Lemma 1}

Jari-jari dari lingkaran dalam berkaitan dengan luas dari segitiga.^[25] Nisbah dari luas lingkaran dalam dengan luas segitiga lebih kecil atau sama dengan ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$ , dengan persamaannya berlaku hanya untuk segitiga sama sisi.^[26]

Andaikan ${\displaystyle \triangle ABC}$  memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari ${\displaystyle r}$  dan pusat ${\displaystyle I}$ . Misalkan ${\displaystyle a}$  menjadi panjang ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle b}$  menjadi panjang ${\displaystyle AC}$ , dan ${\displaystyle c}$  menjadi panjang ${\displaystyle AB}$ . Sekarang, lingkaran dalam singgung dengan ${\displaystyle AB}$  pada suatu titik ${\displaystyle T_{C}}$ , dan demikian ${\displaystyle \angle AT_{C}I}$  adalah siku-siku. Demikian, ${\displaystyle \triangle IAB}$  memiliki alas dengan panjang ${\displaystyle c}$  dan tinggi ${\displaystyle r}$ , dan jadi memiliki luas ${\displaystyle {\frac {1}{2}}cr}$ . Dengan cara yang serupa, ${\displaystyle \triangle IAC}$  memiliki luas ${\displaystyle {\frac {1}{2}}br}$  dan ${\displaystyle \triangle IBC}$  memiliki luas ${\displaystyle {\frac {1}{2}}ar}$ . Karena ketiga segitiga ini memisahkan ${\displaystyle \triangle ABC}$ , kita lihat bahwa luas ${\displaystyle \Delta }$  dari ${\displaystyle \triangle ABC}$  adalah:^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr}$$ dan

$${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}}}$$ 

dimana ${\displaystyle \Delta }$  adalah luas dari ${\displaystyle \triangle ABC}$  dan ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$  adalah semiperimeternya.

Untuk sebuah rumus yang alternatif, anggap ${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$ . Ini adalah segitiga siku-siku dengan satu sisinya sama dengan ${\displaystyle r}$  dan sisi lainnya sama dengan ${\displaystyle r\cot \left({\frac {A}{2}}\right)}$ . Kesamaannya benar untuk ${\displaystyle \triangle IB'A}$ . Segitiga yang besar dikomposisi enam segitiga dan luas totalnya adalah:^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right)}$$ 

 

Segitiga Gergonne (dari ${\displaystyle \triangle ABC}$ ) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan ${\displaystyle A}$  dilambangkan ${\displaystyle T_{A}}$ , dll.

Segitiga Gergonne, ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ , juga dikenal sebagai segitiga kontak atau segitiga singgung dalam dari ${\displaystyle \triangle ABC}$ . Luasnya adalah

$${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$$ 

dimana ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle r}$ , dan ${\displaystyle s}$  adalah luasnya, jari-jari dari lingkaran dalam dari segitiga asalnya, dan ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , serta ${\displaystyle c}$  adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari segitiga singgung luar.^[27]

Tiga garis ${\displaystyle AT_{A}}$ , ${\displaystyle BT_{B}}$ , dan ${\displaystyle CT_{C}}$  memotong dalam sebuah titik tunggal disebut titik Gergonne, dilambangkan sebagai ${\displaystyle G_{e}}$  (pusat segitiga ${\displaystyle X_{7}}$ ). Titik Gergonne terletak di cakram ortosentroidal terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.^[28]

Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah titik simedian dari segitiga Gergonne.^[29]

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{verteks }}T_{A}&=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{B}&=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{C}&=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0\end{aligned}}}$$ 

Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh^{[butuh rujukan]}

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus

$${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}$$ 

 

Sebuah lingkaran singgung luar^[30] dari segitiga adalah sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan dari keduanya. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.^[3]

Pusat sebuah lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks ${\displaystyle A}$ , contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat lingkaran singgung ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks dari ${\displaystyle A}$ , atau pusat lingkaran singgung luar dari ${\displaystyle A}$ .^[31] Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran singgung luar membentuk sebuah sistem ortosentrik.^[32]:182

Saat pusat lingkaran dalam ${\displaystyle \triangle ABC}$  memiliki koordinat trilinear ${\displaystyle 1:1:1}$ , pusat lingkaran singgung luar memiliki trilinear ${\displaystyle -1:1:1}$ , ${\displaystyle 1:-1:1}$ , dan ${\displaystyle 1:1:-1}$ .^{[butuh rujukan]}

Jari-jari dari lingkaran singgung luar disebut jari-jari lingkaran singgung luar.

Jari-jari lingkaran singgung luar dari lingkaran singgung luar berlawanan ${\displaystyle A}$  (jadi menyentuh ${\displaystyle BC}$ , berpusat di ${\displaystyle J_{A}}$ ) adalah^[33][34]

$${\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}}$$ ..., dimana ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ .

Lihat rumus Heron

Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran dalam dan bahwa lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:^[36]

$${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}}$$ 

Lambung lingkar dari lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah lingkaran Apollonius.^[37] Jari-jari lingkaran Apollonius ini adalah ${\displaystyle {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$  dimana ${\displaystyle r}$  adalah jari-jari lingkaran dalam dan ${\displaystyle s}$  adalah semiperimeter dari segitiga.^[38]

Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran dalam ${\displaystyle r}$ , jari-jari lingkaran luar ${\displaystyle R}$ , semiperimeter ${\displaystyle s}$ , dan jari-jari lingkaran singgung luar ${\displaystyle r_{a}}$ , ${\displaystyle r_{b}}$ , ${\displaystyle r_{c}}$ :^[39]

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2}\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}\end{aligned}}}$$ 

Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran singgung luar memiliki jari-jari ${\displaystyle 2R}$ .^[40]

Jika ${\displaystyle H}$  adalah titik tinggi dari ${\displaystyle \triangle ABC}$ , maka^[41]

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&=AH+BH+CH+2R\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}\end{aligned}}}$$ 

 

Segitiga Nagel atau segitiga singgung luar ${\displaystyle \triangle ABC}$  dilambangkan oleh verteks-verteks ${\displaystyle T_{A}}$ , ${\displaystyle T_{B}}$ , dan ${\displaystyle T_{C}}$  yang terdapat tiga titik dimana lingakran singgung luar menyinggung rujukan ${\displaystyle \triangle ABC}$  dan dimana ${\displaystyle T_{A}}$  adalah lawannya dari ${\displaystyle A}$ , dst. ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$  ini juga dikenal sebagai segitiga singgung luar ${\displaystyle \triangle ABC}$ . Lingkaran luar dari singgung luar ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$  disebut lingkaran Mandart.^{[butuh rujukan]}

Tiga garis ${\displaystyle AT_{A}}$ , ${\displaystyle BT_{B}}$ , dan ${\displaystyle CT_{C}}$  disebut pembagi dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle AB+BT_{A}=AC+CT_{A}={\frac {1}{2}}\left(AB+BC+AC\right)}$$ 

Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga ${\displaystyle N_{a}}$  (atau pusat segitiga ${\displaystyle X_{8}}$ ).

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{verteks }}T_{A}&=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{B}&=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{C}&=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0\end{aligned}}}$$ 

Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$$ 

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus,

$${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$$ 

Titik Nagel merupakan sekawan isotomik dari titik Gergonne.^{[butuh rujukan]}

 

Dalam geometri, lingkaran sembilan titik merupakan sebuah lingkaran yang dapat dikonstruksikan untuk suatu segitiga yang diberikan. Ini dinamakan demikian karena ini lewat melalui sembilan titik konsiklik bermakna didefinisikan dari segitiga. Sembilan titik ini adalah:^[42][43]

• Titik tengah setiap sisi dari segitiga
• Kaki dari setiap tinggi
• Titik tengah dari ruas garis dari setiap verteks-verteks segitiga ke titik tinggi (dimana tiga ketinggiannya bertemu; ruas garis ini terletak pada masing-masing ketinggiannya).

Pada tahun 1822, Karl Feuerbach menemukan bahwa setiap lingkaran sembilan titik segitiga secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luarnya dan secara internal bersinggung dengan lingkaran dalamnya; hasil ini diknel sebagia teorema Feuerbach. Dia membuktikan bahwa:^{[butuh rujukan]}

... lingkarannya yang lewat melalui kaki dari tinggi segitiga bersinggungan dengan semua empat lingkaran yang pada gilirannya bersinggungan dengan tiga sisi dari segitiga ... (Feuerbach 1822)

Pusat segitiga di mana singgung lingkaran dalam dan lingkaran sembilan disebut titik Feuerbach.

Titik perpotongan dari garis bagi sudut dalam ${\displaystyle \triangle ABC}$  dengan ruas ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CA}$ , dan ${\displaystyle AB}$  adalah verteks-verteks dari segitiga pusat dalam. Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga pusat dalam diberikan oleh

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\text{lawan dari verteks }}A\right)&=0:1:1\\\left({\text{lawan dari verteks }}B\right)&=1:0:1\\\left({\text{lawan dari verteks }}C\right)&=1:1:0\end{aligned}}}$$ 

Segitiga pusat singgung luar dari sebuah segitiga acuan memiliki verteks-verteks pada pusat dari lingkaran singgung luar segitiga acuan. Sisinya pada garis bagi sudut luar dari segitiga acuan (lihat gambar pada halaman di atas). Koordinat trilinear untuk verteks-verteks mengenai segitiga pusat singgung luar diberikan oleh^{[butuh rujukan]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{hadapan verteks}}\,A)=-1:1:1\\({\text{hadapan verteks}}\,B)=1:-1:1\\({\text{hadapan verteks}}\,C)=1:1:-1\end{aligned}}}$$ 

Misalkan ${\displaystyle x:y:z}$  menjadi sebuah titik peubah dalam koordinat trilinear, dan misalkan ${\displaystyle u=\cos ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)}$ , ${\displaystyle v=\cos ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)}$ , dan ${\displaystyle w=\cos ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$ . Keempat lingkaran digambarkan di atas diberikan dengan setara oleh baik dari dua persamaan yang diberikan:^[44]

• Lingkaran dalam:

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}$$ 

• Lingkaran singgung luar ${\displaystyle A}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {-x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}$$ 

• Lingkaran singgung luar ${\displaystyle B}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {-y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}$$ 

• Lingkaran singgung luar ${\displaystyle C}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {-z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}$$ 

Teorema Euler menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga:

$${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2}}$$ 

dimana ${\displaystyle R}$  dan ${\displaystyle r}$  adalah jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam masing-masing, dan ${\displaystyle d}$  adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran dalam.

Untuk lingkaran singgung luar, persamaannya menyerupai:

$${\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2}}$$ 

dimana ${\displaystyle r_{\text{ex}}}$  merupakan jari-jari mengenai salah satu dari lingkaran singgung luar, dan ${\displaystyle d_{\text{ex}}}$  adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran singgung luarnya.^[45][46][47]

Beberapa (tapi tidak semua) segi empat memiliki sebuah lingkaran dalam. Ini disebut segi empat singgung. Di antaranya banyak sifat-sifat yang mungkin paling terpenting adalah bahwa dua pasangannya mengenai sisi berhadapan memiliki jumlah yang sama. Ini disebut teorema Pitot.^[48]

Lebih umumnya, sebuah poligon dengan suatu jumlah sisi bahwa memiliki sebuah lingkaran dalam (yaitu, salah satunya yang bersinggung dengan setiap sisi disebut sebuah poligon singgung.^{[butuh rujukan]}

• Segi luar
• Lingkaran luar– ;Lingkaran yang lewat melalui semua verteks-verteks poligon
• Segi empat ekstangensial
• Teorema Harcourt – Luas segitiga dari jarak sisi dan verteksnya untuk suatu garis singgung ke lingkaran dalamnya
• Runjung luar dan runjung dalam – Sebuah irisan runjunt yan lewat melalui verteks segiiga atau garis singgung ke sisinya
• Bola dalam
• Kuasa titik
• Elips dalam Steiner
• Segi empat singgung
• Teorema Trillium – Sebuah pernyataan mengenai sifat-sifat lingkaran dalam dan lingkaran luar.

1. ^ (Kay 1969, hlm. 140)
2. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 74)
3. ^ ^{a b} (Altshiller-Court 1925, hlm. 73)
4. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 73)
5. ^ (Kay 1969, hlm. 117)
6. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 73)
7. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
8. ^ Encyclopedia of Triangle Centers Diarsipkan 2012-04-19 di Wayback Machine., accessed 2014-10-28.
9. ^ (Kay 1969, hlm. 201)
10. ^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (March 2012), "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette, 96: 161–165 .
11. ^ Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications . #84, p. 121.
12. ^ Encyclopedia of Triangle Centers Diarsipkan 2012-04-19 di Wayback Machine., accessed 2014-10-28.
13. ^ Mathematical Gazette, July 2003, 323-324.
14. ^ Chu, Thomas, The Pentagon, Spring 2005, p. 45, problem 584.
15. ^ (Kay 1969, hlm. 203)
16. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
17. ^ Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
18. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," Mathematics Magazine 83, April 2010, pp. 141-146.
19. ^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.
20. ^ Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.
21. ^ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
22. ^ Franzsen, William N. (2011). "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF). Forum Geometricorum. 11: 231–236. MR 2877263. .
23. ^ Franzsen, William N. (2011). "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF). Forum Geometricorum. 11: 231–236. MR 2877263. .
24. ^ Franzsen, William N. (2011). "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF). Forum Geometricorum. 11: 231–236. MR 2877263. .
25. ^ Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry 2nd ed. Wiley, 1961.
26. ^ Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.
27. ^ Weisstein, Eric W. "Contact Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
28. ^ Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
29. ^ Dekov, Deko (2009). "Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point" (PDF). Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. 1: 1–14. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2010-11-05.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
30. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 74)
31. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 73)
32. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
33. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 79)
34. ^ (Kay 1969, hlm. 202)
35. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 79)
36. ^ Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle," Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)
37. ^ Grinberg, Darij, and Yiu, Paul, "The Apollonius Circle as a Tucker Circle", Forum Geometricorum 2, 2002: pp. 175-182.
38. ^ Stevanovi´c, Milorad R., "The Apollonius circle and related triangle centers", Forum Geometricorum 3, 2003, 187-195.
39. ^ Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
40. ^ Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
41. ^ Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
42. ^ (Altshiller-Court 1925, hlm. 103–110)
43. ^ (Kay 1969, hlm. 18,245)
44. ^ Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
45. ^ Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.
46. ^ Johnson, R. A. Modern Geometry, Houghton Mifflin, Boston, 1929: p. 187.
47. ^ Emelyanov, Lev, and Emelyanova, Tatiana. "Euler’s formula and Poncelet’s porism", Forum Geometricorum 1, 2001: pp. 137–140.
48. ^ Pritsker, Boris (2017-08-22). Geometrical Kaleidoscope (dalam bahasa Inggris). Courier Dover Publications. hlm. 51. ISBN 978-0-486-82481-9.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (edisi ke-2), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504 
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075 
• Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles". Congressus Numerantium (129): i–xxv,1–295. 
• Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177. 

• Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Incircle". MathWorld. 

• Pusat lingkaran dalam segitiga   Lingkaran dalam segitiga  Lingkaran segi banyak beraturan   Dengan animasi interaktif
• Membangun sebuah pusat lingkaran dalam/lingkaran dalam segitiga dengan jangka dan sejajar
• Teorema Lingkaran Dalam Sama di Cut-the-Knot
• Lima Teorema Lingkaran Dalam di Cut-the-Knot
• Pasangan Lingkaran Dalam di sebuah Segi Empat di Cut-the-Knot
• An interactive Java applet for the incenter