Kiválasztási axióma

Ha ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$  nemüres halmazok családja (I itt tetszőleges indexhalmaz), akkor van olyan f függvény, aminek értelmezési tartománya I és ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$  teljesül minden ${\displaystyle i\in I}$ -re (kiválasztási függvény). Másképp fogalmazva,

${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset }$ ,

azaz nemüres halmazok tetszőleges nemüres rendszerének direkt szorzata nem üres.

• jólrendezési tétel^[1]
• Minden végtelen számosság alef.
• A számosságösszehasonlítás trichotómiája: ha A és B halmazok A számossága a, B számossága b, akkor a<b, b<a vagy a=b.
• Zorn-lemma^[1]
• Teichmüller–Tukey-lemma^[1]
• Birkhoff-tétel^[1]
• A számosságaritmetika alaptétele: Ha a végtelen számosság, akkor a²=a.
• Tyihonov-féle szorzattétel: kompakt topologikus terek szorzata kompakt.
• Minden vektortérnek létezik bázisa.

Sokszor fontos szerepet játszanak a kiválasztási axióma egyes speciális esetei. Ilyen például a megszámlálható választás axiómája (azaz, hogy van kiválasztási függvény, ha megszámlálható sok nemüres halmazról van szó) és a függő választás axiómája (DC).^[2]

• Van nem mérhető halmaz.
• A térbeli (tömör) egységgömb végesen átdarabolható kettőbe (Banach–Tarski-paradoxon)
• A síkbeli egységnégyzet alakú lemez végesen átdarabolható egy egység területű körlemezbe (Laczkovich-tétel).

Az alábbi állítások mindegyike (külön-külön) a kiválasztási axióma (AC) tagadásával (¬AC) együtt ellentmondásmentes rendszert alkot, feltéve, hogy maga ZF ellentmondásmentes. Ez azt jelenti, hogy ha a ZFC-ben AC helyett ¬AC-t vesszük fel axiómaként (azaz áttérünk a ZF+¬AC rendszerre), akkor nem kizárt (nem lehetetlen), hogy az alábbi kijelentések levezethetők ebben a rendszerben:

• Van olyan A halmaz, ami nem véges, de nincs a természetes számok N halmazának A-ba injekciója.
• Van kételemű halmazoknak olyan ${\displaystyle \{A_{n}:n<\omega \}}$  rendszere, aminek nincs kiválasztási függvénye.
• Nincs nemtriviális, nemfő ultraszűrő a természetes számok halmazán.
• ${\displaystyle \omega _{1}}$  szinguláris.
• ${\displaystyle \omega _{1}}$  mérhető.
• Minden valós számokból álló halmaz Lebesgue-mérhető.
• A valós számok halmaza megszámlálható sok, megszámlálható halmaz egyesítése.

• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
• Hajnal András & Hamburger Péter, Halmazelmélet, 3. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (1994) ISBN 963-18-5998-3