Halmazelmélet

Bővebben: A halmazelmélet története

A 19. század vége felé két matematikus, Richard Dedekind és Georg Cantor magán a fogalmak szigorúbb definícióján túlmutató jelentőségű eredményeket ért el a valós számok elméletében. Richard Dedekind bebizonyította, hogy a racionális és irracionális számok mindenhol sűrűn helyezkednek el a valós számok között, azaz minden intervallumban - legyen bármilyen kicsi - van akár irracionális, akár racionális szám. Georg Cantor pedig azt bizonyította be, hogy a valós számok halmaza nem lehet megszámlálhatóan végtelen (a Cantor-tétel egy speciális esete, melyet az átlós eljárással igazolt). Ennek a cikknek az 1874-es publikálását tekintjük a halmazelmélet megszületésének.

A halmazelmélet cantori szemlélete szerint

tetszőleges ${\displaystyle T}$  tulajdonság egy olyan halmazt határoz meg, mely azokat az elemeket tartalmazza, melyekre ${\displaystyle T}$  teljesül.

Ez a komprehenzivitási elv, mely azonban a naiv halmazelmélet javíthatatlan hibáinak forrásává vált. A naiv halmazelméletben ugyanis Bertrand Russell 1904-ben (és ezzel egy időben sokan mások is, például maga Cantor) ellentmondást, úgynevezett antinómiát fedezett fel (lásd: Russell-paradoxon). Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika csaknem teljesen a halmazelméletre alapozható, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Legelőször Zermelo végzett eredményes kutatásokat az említett ellentmondások kiküszöbölésére. Zermelo vizsgálatait Fraenkel bővítette – kialakítva az úgynevezett Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszert. Más halmazelméleti axiómarendszereket is alkottak (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet), melyek nagyban hozzájárultak a modern halmazelméleti kutatások eredményességéhez.

A halmazelméletben mindent le lehet írni két kifejezéssel. Az egyik a „halmaz”, a másik az a kijelentés, hogy egy adott dolog „eleme” egy halmaznak. Ezek a halmazelmélet alapfogalmai.

Bővebben: halmaz (matematika)

A halmazelmélet legfontosabb objektumai azok a halmazok, melyek egy adott halmaz adott tulajdonságnak eleget tévő elemeiből állnak. Például a természetes számok halmazának, az

${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\dots \}}$ 

halmaznak kiválaszthatjuk azon elemeit, melyek négyzetszámok, azaz előállnak egy természetes szám négyzeteiként:

${\displaystyle S=\{0,1,4,9,16,\dots \}}$ 

Amikor valamely szabályosság, vagy tulajdonság teljesül egy halmaz elemeire, akkor ezt az

${\displaystyle \{x\in H\mid T(x)\}}$ 

összetett szimbólummal jelöljük (melyet olyan x-ek a H-ból, melyekre teljesül T(x) -ként mondunk ki) és ahol az ' x ∈ H ' azt jelöli, hogy egy H halmaz elemeiről van szó, a | (függőleges vonal) azt, hogy ezek közül azokat gyűjtjük össze egy halmazba, melyekre igaz a T(x) tulajdonság. Ez lényegében nem más, mint a T tulajdonság igazságtartománya. A példában eszerint

${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {N} \mid x=n^{2},\;n\in \mathbb {N} \}}$ 

Bővebben: számosság

Megjegyezzük, hogy már Galilei is rámutatott, hogy a négyzetszámok „ugyanannyian” vannak, mint a természetes számok. Ezt Cantor a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésekkel fogalmazta meg. Két halmaz azonos számosságú (lényegében azonos elemszámú), ha az egyik halmaz minden elemét hozzárendelhetjük a másik halmaz egy-egy eleméhez oly módon, hogy különbözőkhöz mindig különbözőket rendelünk. Például az ${\displaystyle n\mapsto n^{2}}$  ilyen tulajdonságú, és ekkor a természetes számok és a négyzetszámok egyenlő számosságúak (holott a négyzetszámok halmaza a természetes számoknak egy meglehetősen ritka részhalmaza).

Cantor a számosság ezen fogalmával belátta, hogy a természetes számok és a számegyenes pontjai nem azonos számosságúak, azaz nem hozhatók kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe. A valós számok „sokkal többen vannak”, mint a természetes számok. Ez a Cantor-tétel egy variánsa, mely azt a meglepő eredményt közli, hogy nagyon sokféle rendű végtelen van. A végtelen számosságokkal történő számítások a halmazelméletnek máig jelentős része.

Lásd még: rendezett pár, reláció, függvény, rendszám, számosság

A halmazelmélet arra is jó, hogy a matematikai fogalmakat előállítsuk benne. Például a 0 számra gondolhatunk úgy, mint arra a halmazra, melynek egyetlen eleme sincs, azaz az üres halmazra:

${\displaystyle \varnothing =\{\;\}}$ 

Az 1 számra gondolhatunk úgy, mint egy egyelemű halmazra. A meghatározottság kedvéért legyen 1 az üres halmazt tartalmazó halmaz:

${\displaystyle 1:=\{\varnothing \}=\{0\}}$ 

A 2 szám legyen ebből a két halmazból álló halmaz:

${\displaystyle 2:=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}=\{0,1\}}$ 

És így tovább, az n-edik természetes szám, az összes halmazelméleti természetes szám halmaza n-ig:

${\displaystyle n=\{0,1,\dots ,n-1\}}$ 

Ezt a konstrukciót Neumann találta ki, Frege és Hume hasonló gondolatainak egyfajta halmazelméleti kivitelezéseként. Sőt ennek mintájára, a sort folytatva Neumann megalkotta a rendszám fogalmát és Cantor nemcsak a véges, de a végtelen számosságfogalmát is.

A halmazelméletben megfogalmazható még a rendezett pár, a függvény, a valós szám és még nagyon sok matematikai fogalom. Gyakorlatilag az összes.

Bővebben: osztály (halmazelmélet)

A halmazelmélet absztraktságából (tehát hogy csak a „halmaz” és az „eleme” szavakat használja) következnek bizonyos kényelmetlenségek. A kezdetekkor azt gondolták, hogy akármilyen T tulajdonsággal képezhető az { x | T(x) } halmaz és ez is lehet eleme egy halmaznak. Gondolhatunk az { x | x ∉ x } összességre, de valójában az ellentmondás fellépése nélkül nem feltételezhetjük, hogy ez halmaz (lásd: Russell-paradoxon).

A tulajdonságokkal történő halmazképzést tehát korlátozni kell, nem lehet akármilyen dolgokat egy halmazba gyűjteni az ellentmondás fellépése nélkül. Az egyik megoldási mód ennek a korlátozásnak a kivitelezése, melyet Neumann vitt végig, és amiből a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet született, ez a méret korlátozásának elve. A másik a halmazok egymás után, műveletek segítségével történő felépítésének útja, melyet iteratív vagy kumulatív elvnek nevezünk, és ami a Zermelo–Fraenkel-halmazelméletben ölt testet.

A halmazok egymásután történő megalkotásának iteratív elve az alábbi, úgynevezett halmazműveleteken nyugszik.

Bővebben: unió (halmazelmélet)

Ha A és B halmazok, akkor ${\displaystyle A\cup B}$  jelöli azon elemek összességét, melyek A illetve B közül legalább az egyikben benne vannak.

${\displaystyle A\cup B:=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}}$ 

Bővebben: metszet (halmazelmélet)

Ha A, B halmazok, akkor ${\displaystyle A\cap B}$  jelöli a metszetüket vagy közös részüket, azaz azt a halmazt, amely pontosan A és B közös elemeit tartalmazza. Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló ${\displaystyle \{A_{i}\,|\,i\in I\}}$  halmazrendszer elemeinek ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}}$  metszetét.

Unióképzés és metszetképzés tulajdonságai

Idempotencia:	${\displaystyle A\cap A=A}$	${\displaystyle A\cup A=A}$
Kommutativitás:	${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$	${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
Asszociativitás	${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\,\!}$	${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\,\!}$
Disztributivitás	${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,\!}$	${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,\!}$

Bővebben: különbség (halmazelmélet)

Egy A és egy B halmaz különbségét a ${\displaystyle \setminus }$  művelettel képezzük, elemei pontosan azok, amelyek elemei A-nak, de nem elemei B-nek:

${\displaystyle A\setminus B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\notin B\}}$ .

Egy A halmaz komplementerét egy adott U alaphalmaz felett értelmezhetjük, definíciója: ${\displaystyle {\bar {A}}\equiv U\setminus A}$ 

Bővebben: rendezett pár

Az a, b elemeket tartalmazó rendezett pár

${\displaystyle \langle a,b\rangle =\{\{a\},\{a,b\}\}}$ .

Ez valóban rendelkezik a rendezett pártól elvárható tulajdonsággal, ugyanis ${\displaystyle \langle a,b\rangle =\langle c,d\rangle }$  csak akkor teljesül, ha a = c és b = d.

Bővebben: Descartes-szorzat

Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán a következő halmazt értjük:

${\displaystyle A\times B=\{\langle x,y\rangle :x\in A,y\in B\}}$ .

A szorzathalmaz elemei rendezett párok, amely azt jelenti, hogy az elemek közül az első az első halmazból, a második a második halmazból való.

Bővebben: függvény (matematika)

Ha adott az ${\displaystyle A}$  és ${\displaystyle B}$  halmaz, akkor az ${\displaystyle A}$ -n értelmezett és ${\displaystyle B}$ -be érkező függvénynek nevezzük és

${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ 

-vel jelöljük, az ${\displaystyle A\times B}$  egy olyan ${\displaystyle f}$  részhalmazát, mely elemeinek első komponensei között az ${\displaystyle A}$  összes eleme szerepel és a reláció egyértelmű a második komponensében, tehát

• értelmezési tartománya: ${\displaystyle {\text{Dom}}(f)=A}$ , továbbá
• minden egyes ${\displaystyle x\in A}$  elemhez egy és csakis egy olyan ${\displaystyle y\in B}$ -beli elem található, hogy (${\displaystyle x,y)\in f}$ .

Egy ${\displaystyle A}$ -beli ${\displaystyle x}$ -hez tartozó, egyértelműen meghatározott, ${\displaystyle B}$ -beli ${\displaystyle y}$  elemet

${\displaystyle f(x)}$ 

-szel jelöljük, így ${\displaystyle y=f(x)\Leftrightarrow (x,y)\in f}$ . Ekkor azt mondjuk, hogy ${\displaystyle f}$  az ${\displaystyle x}$  értékhez az ${\displaystyle y}$  értéket rendeli.

Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha különbözőkhöz különbözőket rendel.

Egy ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$  függvényről azt mondjuk, hogy szűrjektív (vagy ráképez ${\displaystyle B}$ -re), ha minden elemet felvesz értékként ${\displaystyle B}$ -ből.

Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$  bijekció (vagy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű), ha injektív és szürjektív.

A naiv halmazelméletet követően, az ellentmondások kiküszöbölése céljából axiomatikus halmazelméleteket hoztak létre. Ezekben a halmaz és az elem fogalma alapfogalom, a halmazoktól megkövetelt legfontosabb tulajdonságokat pedig axiómák rögzítik. Ilyen axiómák például az unió műveletének elvégezhetősége (azazhogy két halmaz uniója is halmaz legyen).

A halmazelmélet axiomatizálására számos elmélet született. Ezek közül a két legfontosabb:

• A Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet
• A Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet

Ezeken kívül a probléma megoldását megtalálhatjuk Russellnél (típuselmélet) és Quine-nél (Quine-féle típuselmélet) is.

1. ↑ Lásd még: metamatematika.
2. ↑ Olyan, viszonylag új tudományágak, mint a kategóriaelmélet esetében, ez nem mondható ki egyértelműen, sőt a kategóriaelméletet sokan a halmazelmélet mint alapozó tudományág riválisának is tekintik. De ilyen kivétel viszonylag kevés van, a matematika szinte teljes egésze - akár modern, akár klasszikus - ma már a halmazelméletre épül.