Fürstenberg-topológia

Tetszőleges ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$  egész számra jelölje ${\displaystyle \ N_{b}(a)}$  az ${\displaystyle \{a+bj|j\in \mathbb {Z} \}}$  számtani sorozatot. A Fürstenberg-topológiában nyíltnak nevezünk egy ${\displaystyle G\subset \mathbb {Z} }$  halmazt, ha minden ${\displaystyle a\in G}$  számra létezik olyan ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$ , hogy ${\displaystyle N_{b}(a)\subset G}$ . Az üres halmaz és maga ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  így nyíltak, két nyílt halmaz metszete maga is nyílt és nyíltak uniója szintén nyílt, ezért a nyíltnak definiált halmazok valóban topológiát alkotnak. A Fürstenberg-topológia tehát az egész számokból álló, mindkét irányban végtelen számtani sorozatok által generált topológia ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  elemein.

A Fürstenberg-topológiában minden nemüres nyílt halmaz végtelen. Egy véges halmaz komplementere tehát nem lehet zárt.

${\displaystyle N_{b}(a)=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}N_{b}(a+j)}$ ,

tehát ${\displaystyle \ N_{b}(a)}$  előáll egy nyílt halmaz komplementereként, így egyben zárt is.

Jelölje ${\displaystyle \mathbb {P} }$  a prímszámok halmazát. Tetszőleges ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ -re ${\displaystyle \ N_{p}(0)}$  éppen a ${\displaystyle p}$  többszöröseiből álló halmaz. Mivel az ${\displaystyle 1}$ -en és a ${\displaystyle -1}$ -en kívül minden egész szám előáll egy prím többszöröseként,

${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\in \mathbb {P} }N_{p}(0).}$ 

Ha véges sok prímszám volna, akkor a jobb oldalon zárt halmazok véges uniója állna, amely így maga is zárt volna. De ez nem lehetséges, mert a bal oldalon egy véges halmaz komplementere áll, amely így nem zárt. Tehát végtelen sok prímszám van.

• H. Fürstenberg (1955). „On the infinitude of primes”. American Mathematical Monthly 62 (353). 

• Aigner, Martin, Günter M. Ziegler. Bizonyítások a Könyvből (magyar nyelven). Budapest: Typotex Kiadó (2004). ISBN 963-9548-00-6