Prímszámtétel

Ha x pozitív, jelölje ${\displaystyle \pi (x)}$  az x-ig terjedő prímszámok számát. A prímszámtétel azt állítja, hogy

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1}$ 

Szokásos jelöléssel

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}}$ 

ahol ln(x) a természetes logaritmust jelöli. A ${\displaystyle \sim }$  jelölés azt jelenti, hogy a két oldal hányadosa 1-hez tart, ha x végtelenhez tart (aszimptotikusan egyenlőek).

Jobb közelítések - nagy x-ekre :

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-1}}}$ 

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-1-{\frac {1}{\ln(x)}}}}}$ 

Még jobb közelítés adható a Li(x) függvénnyel.

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln(x)}}}\right)}$ 

ha x → ∞ (lásd O jelölés). Itt Li(x) a

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\;.}$ 

integrállogaritmus függvény.

A prímszámtételt abban az ekvivalens formában is kimondhatjuk, hogy az n-edik prím aszimptotikusan ${\displaystyle n\ln(n).}$ ^[1]

( Nagy n-ekre jóval pontosabb közelítés : n ( ln(n) + ln(ln(n)) - 1 ) ).

A tételt Legendre és Gauss sejtette meg. Csebisev bebizonyította,^[2] hogy nagy x-re

${\displaystyle 0,922{\frac {x}{\ln(x)}}<\pi (x)<1,105{\frac {x}{\ln(x)}},}$ 

de csak sokkal később, komplex függvénytani módszerekkel igazolta a prímszámtételt Hadamard és de La Vallée Poussin 1896-ban. A prímszámok eloszlása fontos kapcsolatban van a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek eloszlásával. Hadamard és de la Vallée-Poussin úgy vezette le a prímszámtételt, hogy megmutatták, hogy a zeta-függvénynek nincs 1 valós részű gyöke. Később kiderült, hogy a két állítás ekvivalens, ezért fontos kérdéssé vált az, hogy van-e elemi bizonyítás a prímszámtételre. Ilyet végül Erdős Pál és Atle Selberg adott 1949-ben, részben együttműködve, részben függetlenül. Az elemi szó ebben az összefüggésben azt jelenti, hogy nem használ komplex függvénytani eszközöket, csak elemi analízisbeli becsléseket, ezek a bizonyítások rendkívül fáradságosak és nagyon gyenge hibatagot adnak.

Általában igaz, hogy minél nagyobb tartományból sikerül kizárni a zeta-függvény gyökeit, annál jobb hibatagot kapunk, ezért nagy jelentőségű a zeta-függvény gyökeire vonatkozó Riemann-sejtés.

A Dirichlet-tétel általánosításaként belátható, hogy minden ${\displaystyle q>2}$ -re a prímszámok egyenletesen oszlanak el a mod q redukált maradékosztályokban, azaz, ha ${\displaystyle \pi (x,q,a)}$  jelöli az x-nél nem nagyobb prímek számát, amelyek q-val osztva a maradékot adnak, akkor

${\displaystyle \pi (x;q,a)\sim {\frac {1}{\varphi (q)}}{\rm {Li}}(x).}$ 

A Siegel–Walfisz-tétel szerint, ha ${\displaystyle (a,q)=1}$ , és ${\displaystyle q<(\log \,x)^{N}}$  egy valamilyen N konstansra, akkor

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {1}{\varphi (q)}}{\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-c{\sqrt {x}}}\right)}$ 

ahol az O-beli konstans N-től függ.

x	π(x)	π(x) − x / ln x	π(x) / (x / ln x)	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	1.019	17,146,907,277	54.243