Bolzano–Weierstrass-tétel

Minden végtelen korlátos, valós számsorozatnak van konvergens részsorozata.

Legyen (a_n) korlátos számsorozat, ekkor (a_n) lefedhető valamely [α,β] korlátos és zárt intervallummal. Intervallumfelezéses eljárással rekurzív módon definiálni fogunk egymásba skatulyázott, nullához tartó hosszúságú intervallumok (${\displaystyle I}$ _k) sorozatát a következőképpen.

• ${\displaystyle I_{0}}$ :=[α₀,β₀]:=[α,β]
• Ha k természetes szám, és ${\displaystyle I}$ _k=[α_k,β_k] már definiálva van, akkor osszuk két egyenlő hosszúságú részre: ${\displaystyle I}$ _k = [α_k,c_k] U [c_k,β_k]. Valamelyikben a sorozatnak bizonyosan végtelen sok különböző indexű tagja van (ellenkező esetben ugyanis nem beszélhetnénk végtelen sorozatról). Természetesen előfordulhat, hogy mindkettőbe végtelen sok tag esik. A meghatározottság kedvéért legyen ${\displaystyle I}$ _k+1 a két fél közül az az intervallum, melyben végtelen sok különböző indexű tag esik és ezek közül a „jobb oldali” félintervallum. (Ezzel azt értük el, hogy az intervallumsorozat minden tagjában lesz sorozatbeli elem.)

A Cantor-axióma (vagy Cantor-féle közöspont tétel) szerint, mely az egymásba skatulyázott intervallumokról szól az (${\displaystyle I}$ _k) intervallumsorozatnak létezik egyetlen közös pontja, legyen ez c.

Megállapíthatjuk, hogy minden k természetes számra végtelen sok olyan i index (természetes szám) van, hogy a_i ∈ ${\displaystyle I}$ _k, tehát minden k természetes számra igaz, hogy

${\displaystyle H_{k}=\{i\in \mathbb {N} \mid a_{i}\in I_{k}\}\neq \emptyset }$ .

Megjegyezzük, hogy a természetes számok jólrendezési tulajdonsága miatt ezeknek a nemüres halmazoknak van minimális elemük. Ezekből a halmazokból kell kiválasztanunk egy (i_k) indexsorozatot (tehát egy szigorúan monoton növekvő sorozatot). Ezt szintén rekurzióval tesszük.

• i₀:=min H₀
• Ha már i_k definiálva van minden k-nál nem nagyobb természetes számra, akkor legyen i_k+1 az a szám, amelyik nagyobb az eddig definiált véges sok elemtől és a legkisebb ilyen elem H_k+1-ben.

Ekkor az

${\displaystyle (a_{i_{k}})}$ 

sorozat c-hez konvergál. ■

Vegyük észre, hogy bár kiválasztásról van szó, mégsem kellett használnunk a kiválasztási axiómát, hiszen a természetes számokat a szokásos rendezés jólrendezi, így mindig konstruktívan (egyértelműen megnevezve) tudtunk kijelölni egy elemet a nemüres részhalmazaiból.

Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.

Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. ${\displaystyle a_{k}}$ -t csúcselemnek nevezzük, ha minden ${\displaystyle n\geq k}$  esetén ${\displaystyle a_{n}\leq a_{k}}$ . (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)

Ekkor két eset lehetséges:

1. Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\ldots }$  indexek, melyekre ${\displaystyle a_{n_{1}},a_{n_{2}},a_{n_{3}},\ldots }$  csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
2. Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik ${\displaystyle n_{0}}$ , hogy minden ${\displaystyle n>n_{0}}$  esetén ${\displaystyle a_{n}}$  nem csúcselem.

• De ${\displaystyle a_{n_{0}}}$  nem csúcselem, vagyis létezik ${\displaystyle n_{1}>n_{0}}$ , hogy ${\displaystyle a_{n_{1}}>a_{n_{0}}}$ .
• De ${\displaystyle a_{n_{1}}}$  nem csúcselem, vagyis létezik ${\displaystyle n_{2}>n_{1}}$ , hogy ${\displaystyle a_{n_{2}}>a_{n_{1}}}$  stb.

Ekkor viszont ${\displaystyle a_{n_{1}},a_{n_{2}},a_{n_{3}},\ldots }$  nyilván szigorúan monoton növő sorozat.

Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.

Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az u sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden n-re: ${\displaystyle b_{n}}$  = min{ i > n | |a_i-u| < δ${\displaystyle _{n}}$ }, ahol δ${\displaystyle _{n}}$  egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.

Legyen ${\displaystyle [a,b]}$  olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy ${\displaystyle a_{n}}$ -nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden ${\displaystyle x}$  ∈ ${\displaystyle [a,b]}$ -nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az ${\displaystyle [a,b]}$  intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet ${\displaystyle [a,b]}$ -be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind ${\displaystyle [a,b]}$ -ben van.

Az előbbi tétel múlhatatlan fontosságú következménye, hogy egy R-beli halmaz pontosan akkor korlátos és zárt, ha kompakt. Itt egészen pontosan sorozatkompaktságról van szó, azaz arról, amikor egy tetszőleges H ⊆ R halmazra teljesül, hogy minden H-beli értékeket felvevő sorozatnak van H-beli határértékű konvergens részsorozata. Az alábbi tételt néha szintén Bolzano–Weierstrass-tételnek nevezik (csak ekkor nem mondják oda a „kiválasztási” jelzőt).

Tétel – Egy H ⊆ R halmaz akkor és csak akkor korlátos és zárt, ha sorozatkompakt.

Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy H korlátos és zárt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételből következik, hogy minden H-ban haladó sorozatnak – minthogy ezeket lefedi a korlátos H – létezik konvergens részsorozata. H zártságából pedig az következik, hogy minden H-beli értékeket felvevő konvergens sorozat határértéke szintén H-beli, amivel az állítás első fele bebizonyosodott.

Másrészt legyen H sorozatkompakt. Ha nem lenne korlátos, akkor tetszőleges n természetes számra

${\displaystyle H_{n}:=\{x\in H\mid |x|>n\}\neq \emptyset }$ 

lenne, és így a kiválasztási axióma segítségével definiálhatunk egy (s_n) sorozatot, melynek elemei rendre H_n-beliek. Ekkor minden n természetes számra s_n > n, és így tetszőleges (k_n) indexsorozatra (szig. mon. növekvő) |s(k_n)| > k_n > n, ami azt jelenti, hogy (s_n)-nek nincs konvergens részsorozata.

A zártsághoz tekintsük H lezártjának egy h elemét. Ekkor létezik h határértékkel H-beli elemekből konvergens sorozat, melyből a sorozatkompaktság miatt szükségképpen h ∈ H következik. ■

A tétel párja a Borel–Lebesgue-féle lefedési tétel, mely szerint korlátos és zárt R-beli halmaz minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés (korlátos és zárt R-beli halmaz kompakt).

Megjegyezzük, hogy a tételek Rⁿ-ben is érvényesek.

A tétel Bernard Bolzanóról és Karl Weierstrassról kapta a nevét. Először Bolzano bizonyította, de bizonyítása elveszett. Weierstrass újra bebizonyította, és az analízis egyik meghatározó tétele lett. Ezt követően kiderült, hogy korábban már Bolzano belátta az állítást, ezért kapta jelenlegi nevét a tétel.

• A PlanetMath Bolzano-Weierstrass theorem szócikke