Viviani-tétel
Viviani tétele szerint egy szabályos háromszög minden belső pontjának az oldalaktól való távolságösszege egyenlő a szabályos háromszög magasságával. Nevét felfedezője,[forrás?] Vincenzo Viviani olasz matematikus és fizikus után kapta.
Bizonyítása
[szerkesztés]Legyen a háromszög oldalhossza a, és legyen egy tetszőleges P pont a háromszög belsejében. A csúcsokkal összekötve három háromszögre bontja a szabályos háromszöget, melyek összege a szabályos háromszög területe:
- TABP + TBCP + TCAP = TABC
A T = m·a/2 képletet felhasználva (ahol m a magasság, a az alap hossza):
- s·a/2 + u·a/2 + t·a/2 = m·a/2
a/2-vel való egyszerűsítés után:
- s + u + t = m
Megfordítása
[szerkesztés]Egy lehetséges megfordítás: ha egy háromszög belsejében az oldalaktól való távolságösszeg állandó, akkor a háromszög szabályos.
Általánosítások
[szerkesztés]Lényegében ezzel a gondolatmenettel belátható szabályos tetraéderre az állítás, illetve négyszög esetén paralelogrammára.
Irodalom
[szerkesztés]- Bérczi Sz. (1991): Kristályoktól bolygótestekig. Akadémiai Kiadó, Budapest, (ISBN 963-05-5842-4)
- Bérczi Sz. (2001): Kis Atlasz a Naprendszerről (1): Planetáris és anyagtérképek holdkőzetekről, meteoritekről. UNICONSTANT. Püspökladány (ISBN 963-00-6314-X Ö, ISBN 963 00 6315 8)
