Párhuzamossági axióma

A geometriában a párhuzamossági axióma a sík egyeneseinek egyik tulajdonságát kimondó feltételezés.

Eukleidész az Elemekben 5. posztulátumként fogalmazta meg, de a mű néhány későbbi kiadásában 11. axiómaként szerepel.

Az 1983-as magyar kiadásban, Mayer Gyula fordításában így hangzik:

És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak.

A posztulátum (követelmény) felszólító módja és a régies terminológia feloldásával a korszerű tankönyvek így fogalmaznak:

Ha egy egyenes úgy metsz két egyenest, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor e két egyenes a metszőnek ezen oldalán meghosszabbítva metszi egymást.

Az Elemek I. könyvének 28. tételében bizonyítja be Eukleidész a következőt: Ha a metszőnek ugyanazon az oldalán a két belső szög összege két derékszög, akkor a két egyenes párhuzamos. Ennek a tételnek a megfordítását mondja ki az 5. posztulátum. Elemzők úgy vélik, hogy Eukleidész (vagy a forrásának szerzője) a posztulátumban megfogalmazott állítást a bizonyításának sikertelensége miatt emelte ki a tételek precíz sorozatából. Mint Bolyai és Lobacsevszkij eredményéből kiderült, az állítás a többi feltételből (maradék axiómarendszer) nem következik, így csak axióma (alapfeltevés) lehet.

Már Eukleidész első kommentátorainak^[1] feltűnt, hogy a párhuzamoshoz nagyon közeli metszők nagyon távoli találkozása tapasztalattal nem ellenőrizhető, tehát az 5. posztulátum nem magától értetődő, nem olyan, amit bizonyítás nélkül el lehetne fogadni, s ezért megkísérelték levezetni. Próbálkoztak azzal is, hogy a posztulátumot, vagy a párhuzamosok euklideszi definícióját más fogalmazásokkal helyettesítsék. Ám az alternatív definíciók és axiómák nem vezettek célra. Ezek a kutatások egészen a XIX. századig sikertelenül folytak.

Két axióma akkor egyenértékű, ha egyikből a másik levezethető. Az említett próbálkozások közül néhány az euklideszi 5. posztulátum kiváltására:

1. Egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen párhuzamos húzható.
2. Két párhuzamos egyenes közötti távolság állandó.
3. A háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő (Saccheri).
4. Három nemkollineáris pont körön fekszik (Bolyai Farkas)^[2]

Az euklideszi geometriában bármely e egyenesre és P pontra pontosan egy olyan f egyenes van, ami átmegy a P ponton és nem metszi az e egyenest. Formálisan:

∀ e egyenesre ∃! f egyenes úgy, hogy f‖e ∧ P∈f

A 18–19. században több kutató próbálkozott az euklideszi posztulátumok módosításával, hogy bebizonyítsák, a módosítások ellentmondáshoz vezetnek. Az első sikeresen módosított posztulátum a párhuzamossági posztulátum volt, amelyet Bolyai, Lobacsevszkij és Descartes is a következőképpen módosított:

Egy P ponton keresztül végtelenül sok olyan egyenes húzható, amelyek az e egyenest nem metszik.

Az új posztulátum is ellentmondásmentes rendszerhez vezetett, a hiperbolikus geometriához. Ebben a geometriában a párhuzamossági axiómát a fenti hiperbolikus axióma helyettesíti. Itt is lehet az euklideszi párhuzamossághoz hasonló fogalomról beszélni, de csak irányított egyenesek esetén. Az „új” geometriát Albert Einstein is használta a relativitáselmélet leírásakor.

Az elliptikus geometriában a párhuzamossági posztulátum így hangzik:

Egy P ponton keresztül nem húzható olyan egyenes, amely nem metszi az e egyenest.

Ennek következményeként adódik, hogy az egyenesek nem hosszabbíthatók meg végtelenül, hanem önmagukba záródnak, mint a gömbi geometria főkörei.

A projektív geometriában szóba sem kerülnek a párhuzamosok, de az axiómarendszerből levezethető, hogy párhuzamos egyenesek nincsenek. Az affin geometriában azok az egyenesek számítanak párhuzamosnak, amelyek végtelen távoli pontban metszik egymást. Ezt a szemléletet tükrözi az a mondás, hogy: „A párhuzamosak a végtelenben találkoznak.”

• Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula fordítása), Gondolat, 1983, (Elemek I. könyv, online a MEK-en)
• Roberto Bonola: A nemeuklideszi geometria története (inedita) (A MEK archivált dokumentuma, archive.org, 2008. december 15.), (Online a doksi.net-en)