Négyzetgyök

A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). A gyökvonás azon esete, amikor ${\displaystyle n=2}$.

Az ${\displaystyle a}$ szám négyzetgyökének jele: ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen ${\displaystyle a}$-nak és ${\displaystyle -a}$-nak ugyanúgy ${\displaystyle a^{2}}$ a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.

A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

${\displaystyle {\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{2}}}$

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük. A racionális számok közül csak azoknak a négyzetgyöke lesz racionális, melyek felírhatók két négyzetszám hányadosaként. Így például a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ is irracionális, melyet már az ókorban bebizonyítottak.

A gyökjel a kis r betűből alakult ki, a jobb ág meghosszabbításával. A 16. században jelent meg. Eredetileg az r betűt a latin radix szó rövidítéseként a radikandus elé írták. Ha a radikandus bonyolultabb kifejezés volt, akkor zárójelbe tették. Így használta még Gauss is.

A négyzetgyök angol nevéből származik a sok programnyelvben használt sqrt jelölés.

Ha a nem negatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:

${\displaystyle b={\sqrt {a}}\quad \iff \quad b^{2}=a,\ a\geq 0,\ b\geq 0}$

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.

Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek szoktuk nevezni:

${\displaystyle f:\ \mathbb {R} \setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {R} \qquad x\mapsto {\sqrt {x}}}$

Ekvivalensen, jelölje q azt a függvényt, ami a valós számokhoz a négyzetüket rendeli. Ha ezt leszűkítjük a nemnegatív számokra, akkor inverze a négyzetgyökfüggvény lesz:

${\displaystyle {\begin{aligned}q\colon [0;\infty {[}&\rightarrow [0;\infty {[}\\x&\mapsto y=x^{2}\end{aligned}}}$

A valós számokon értelmezett négyzetre emelés függvény nem injektív és nem szürjektív, így nem invertálható függvény. A nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény viszont invertálható, inverze a négyzetgyökfüggvény. Mivel a nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény értékkészlete csak nemnegatív számokat tartalmaz, azért a négyzetgyök csak ezekre a számokra értelmezhető. A korlátozás miatt a négyzetgyökfüggvény értékei sem negatívak. A négyzetre emelés függvénynek más invertálható korlátozásai is vannak, ám ezek inverzét nem tekintjük négyzetgyökfüggvénynek.

A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\sqrt {x}}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$.

Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.

Értelmezési tartományának minden ${\displaystyle [a,b]}$ zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye

${\displaystyle F(x)={\tfrac {2}{3}}\cdot ({\sqrt {x}})^{3}}$.

• Mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza:

${\displaystyle D_{f}=R_{f}=\mathbb {R} _{0}^{+}}$

• Szigorúan monoton növekvő, azaz:

${\displaystyle x_{1}<x_{2}:\quad {\sqrt {x_{1}}}<{\sqrt {x_{2}}}}$

• Zérushelye: x=0
• Szélsőérték:
  • Minimuma: x=0, f(x)=0
  • Maximuma nincs
• Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.

Négyzetszámok és négyzetgyökeik

Radikandus	Négyzetgyök		Radikandus	Négyzetgyök
1	1		121	11
4	2		144	12
9	3		169	13
16	4		196	14
25	5		225	15
36	6		256	16
49	7		289	17
64	8		324	18
81	9		361	19
100	10		400	20

A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:

• ${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$, ha ${\displaystyle a\geq 0,b\geq 0}$
• ${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {-a}}\cdot {\sqrt {-b}}}$, ha ${\displaystyle a\leq 0,b\leq 0}$
• ${\displaystyle 0\leq a<b\;\Longleftrightarrow \;0\leq {\sqrt {a}}<{\sqrt {b}}}$, mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
• ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|}$ tetszőleges a valós számra.
• ellenben ${\displaystyle ({\sqrt {a}})^{2}=a}$ csak akkor teljesül, ha a nem negatív

• I.) Irracionális egyenletek:

Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.

• II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:

Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.

A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív; azonban a valós esettel ellentétben szürjektív, azaz minden komplex szám előáll négyzetként. Leszűkítéssel injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.

A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a

${\displaystyle D_{H}:=\{x+\mathrm {i} \,y\in \mathbb {C} \mid y>0{\text{ vagy }}(y=0,{\text{ }}x\geq 0)\}}$

tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető. Az egyetlen mellékág ${\displaystyle -{\sqrt {z}}.}$

A Descartes-koordinátákkal adott ${\displaystyle z=x+{\rm {iy}}}$ komplex szám esetén, ahol ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ valósak, a főérték

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x+{\rm {iy}}}}={\sqrt {\tfrac {|z|+x}{2}}}+\mathrm {i} \cdot \operatorname {sgn^{+}} (y)\cdot {\sqrt {\tfrac {|z|-x}{2}}}}$

ahol a ${\displaystyle \operatorname {sgn^{+}} }$ függvény értéke nempozitív ${\displaystyle y}$ esetén  −1.

${\displaystyle {\text{sgn}}^{+}(y)={\begin{cases}+1&{\text{ ha }}y\geq 0\\-1&{\text{ ha }}y<0\end{cases}}}$

Polárkoordinátákkal a művelet egyszerűbben elvégezhető. Legyen a radikandus a ${\displaystyle z}$ komplex szám, melynek polárkoordinátás alakja

${\displaystyle z=r\cdot {\rm {e^{\mathrm {i} \varphi },}}}$

ahol ${\displaystyle \varphi }$ és ${\displaystyle r}$ valósak úgy, hogy ${\displaystyle r>0}$ és ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$! Ekkor a főérték:

${\displaystyle w_{1}={\sqrt {r}}\cdot {\rm {e^{\mathrm {i} \varphi /2}}}}$

és a mellékérték ennek mínusz egyszerese:

${\displaystyle w_{2}={\sqrt {r}}\cdot {\rm {e^{\mathrm {i} (\varphi /2+\pi )}}}}$

A négyzetgyökök abszolútértéke a radikandus abszolútértékének négyzetgyöke. A főérték argumentuma a radikandus argumentumának fele. A mellékérték az origóra való tükrözéssel adódik. Ha ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} \,y}$ komplex szám, akkor argumentuma az ${\displaystyle \angle (EOZ)}$ szög, ahol a pontok valós koordinátái ${\displaystyle E(1;0),}$ az egy valós szám, ${\displaystyle O(0;0)}$ a nulla valós szám és ${\displaystyle Z(x;y)}$.

A komplex számokra nem teljesül az

${\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{(P)}}}$ hatványtörvény, hogyha ${\displaystyle r=1/2}$ és ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$. Ez megmutatható az ${\displaystyle a=b=:z}$ esetben:

${\displaystyle {\sqrt {z^{2}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{2},}$

ahonnan az ${\displaystyle \left({\sqrt {z}}\right)^{2}=z}$ azonosság miatt

${\displaystyle {\sqrt {z^{2}}}=z}$

amire a negatív számok ellenpéldák. Ha például ${\displaystyle z=-1}$, akkor ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ és ${\displaystyle \arg(1)=0}$ miatt ${\displaystyle {\sqrt {(-1)^{2}}}}$ főértékének argumentuma ${\displaystyle \arg({\sqrt {1}})=0/2=0}$, holott ${\displaystyle -1}$ főértékének argumentuma ${\displaystyle \arg(-1)=\pi }$.^[1]

Mivel pozitív radikandusok esetén a főértéknek pozitívnak kell lennie, így a példa azt is megmutatja, hogy nem létezhet olyan komplex gyökfüggvény, amelyre a hatványtörvény teljesül. Azonban a hatványtörvény teljesül, ha a két oldalon nem kell egyezniük az előjeleknek. A következő képeken ${\displaystyle z}$ és a ${\displaystyle w_{1}}$ négyzetgyök argumentumát színezés jelöli.

• Komplex négyzetgyök
• 
  A négyzetgyök egyik ága
• 
  A négyzetgyök másik ága
• 
  A négyzetgyökfüggvény Riemann-felülete megmutatja, hogyan mennek át egymásba az ágak

A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.

Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.

• Írásbeli gyökvonás: az írásbeli osztáshoz hasonló eljárás.

A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)² = a² + 2ab + b² azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.

• Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.

Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:

1² < 2 és 2² > 2 miatt az első jegy 1. 1,4² = 1,96 < 2 és 1,5² = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.

• Heron-eljárás vagy babilóniai módszer: a Newton-eljárás alkalmazása az x² - a függvényre. Gyors konvergenciája miatt számológépek programozására használják.
• A négyzetgyökfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthető a binomiális tétel szerint. A sor minden | x | < 1-re konvergens:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x+1}}&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!\;(n-1)!\;2^{2n-1}}x^{n}\\&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}\pm \dots \end{aligned}}}$

• CORDIC-algoritmus a gépi számításokhoz
• Grafikus módszer: a Pitagorasz-tételen alapszik

Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.

Ha ${\displaystyle z=x+iy}$ a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x+iy}}=\operatorname {sgn} (y){\sqrt {\tfrac {|z|+x}{2}}}+i\cdot {\sqrt {\tfrac {|z|-x}{2}}}}$

ahol sgn(y) a szignumfüggvény.

Az egyetlen mellékág a ${\displaystyle -{\sqrt {z}}}$.

A polárkoordinátákban adott ${\displaystyle z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot (\arg(z)+2n\pi )}}$ négyzetgyökei így számíthatók:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {|z|}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(\arg(z)/2+n\pi \right)},}$

ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.

Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.

Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.

Példaként keressük a ${\displaystyle z=-1+\mathrm {i} \,{\sqrt {3}}.}$ komplex szám négyzetgyökét. Ehhez kiszámítjuk az abszolútértékét:

${\displaystyle |z|=\left|-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right|={\sqrt {(-1)^{2}+({\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {1+3}}={\sqrt {4}}=2}$

Tehát a főérték

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&={\sqrt {\tfrac {2+(-1)}{2}}}+\mathrm {i} \cdot \operatorname {sgn^{+}} ({\sqrt {3}})\cdot {\sqrt {\tfrac {2-(-1)}{2}}}\\[0.3em]&={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}+\mathrm {i} \cdot (+1)\cdot {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}={\sqrt {2}}\cdot \left({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} \cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}$

és a mellékérték

${\displaystyle w_{2}=-w_{1}={\sqrt {2}}\cdot \left(-{\tfrac {1}{2}}-\mathrm {i} \cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)}$

Ha egy n természetes számra ${\displaystyle n\geq 2,}$ akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:

${\displaystyle q^{2}\equiv x\;\mathrm {mod} \;n}$

Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:

• Prímtényezős alakba írjuk az n számot
• Megoldjuk a kongruenciát a felbontásban szereplő minden prímhatványra
• Összevetjük ezeket a megoldásokat a kínai maradéktétel szerint.

A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.

Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.

A kérdést az

${\displaystyle \left({\frac {x}{p}}\right)\equiv x^{\frac {p-1}{2}}\,{\bmod {\,}}p}$

Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:

${\displaystyle \left({\frac {x}{p}}\right)={\begin{cases}-1,&{\text{ha }}x{\text{ nemkvadratikus maradék modulo }}p{\text{ ist}}\\0,&{\text{ha }}x{\text{ és }}p{\text{ nem relatív prímek }}\\1,&{\text{ha }}x{\text{ kvadratikus maradék modulo }}p{\text{ ist}}\end{cases}}}$.

Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.

• p négyes maradéka három

Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke

${\displaystyle q\equiv \pm x^{\frac {p+1}{4}}\,{\bmod {\,}}p}$

• p négyes maradéka egy

Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:

Választunk egy r számot, hogy:

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)=-1}$

legyen.

Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:

${\displaystyle W_{n}={\begin{cases}r^{2}/x-2,&{\text{ ha }}n=1\\W_{n/2}^{2}-2,&{\text{ ha }}n{\text{ ps}}\\W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_{1},&{\text{ ha }}n>1{\text{ ptlan}}\end{cases}}}$.

Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei:

${\displaystyle q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{\frac {p-1}{4}}+W_{\frac {p+3}{4}}\right)\,{\bmod {\,}}p}$

Példa: Legyen ${\displaystyle x=3}$ és ${\displaystyle p=37}$!

Ekkor a fenti képlet alapján a négyzetgyökök

${\displaystyle q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{9}+W_{10}\right){\bmod {3}}7}$

Próbálgatással egy megfelelő ${\displaystyle r}$ érték ${\displaystyle r=2}$, mivel:

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)\equiv (r^{2}-4x)^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-8)^{18}\equiv 36\equiv -1{\bmod {3}}7}$

A ${\displaystyle W_{9}}$ és ${\displaystyle W_{10}}$ értékekre adódik, hogy:

${\displaystyle {\begin{matrix}W_{1}&\equiv &r^{2}/x-2&\equiv &4/3-2&\equiv &24&{\bmod {3}}7\\W_{2}&\equiv &W_{1}^{2}-2&\equiv &24^{2}-2&\equiv &19&{\bmod {3}}7\\W_{3}&\equiv &W_{1}W_{2}-W_{1}&\equiv &24\cdot 19-24&\equiv &25&{\bmod {3}}7\\W_{4}&\equiv &W_{2}^{2}-2&\equiv &19^{2}-2&\equiv &26&{\bmod {3}}7\\W_{5}&\equiv &W_{2}W_{3}-W_{1}&\equiv &19\cdot 25-24&\equiv &7&{\bmod {3}}7\\W_{9}&\equiv &W_{4}W_{5}-W_{1}&\equiv &26\cdot 7-24&\equiv &10&{\bmod {3}}7\\W_{10}&\equiv &W_{5}^{2}-2&\equiv &7^{2}-2&\equiv &10&{\bmod {3}}7\\\end{matrix}}}$

Behelyettesítéssel

${\displaystyle q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{9}+W_{10}\right)\equiv \pm {\frac {3}{4}}(10+10)\equiv \pm 15{\bmod {3}}7.}$

Tehát 3 négyzetgyökei modulo 37 15 és 22 modulo 37.

Ha ${\displaystyle A}$ négyzetes mátrix, akkor négyzetgyöke minden ${\displaystyle B}$ mátrix, melyet önmagával szorozva az ${\displaystyle A}$ mátrixot kapjuk:

${\displaystyle A=B\cdot B\Leftrightarrow B{\text{ ist Wurzel von }}A}$

A gyökvonás a többi esethez hasonlóan nem egyértelmű. Azonban, ha pozitív definit szimmetrikus mátrixok pozitív definit szimmetrikus gyökét keressük, akkor a válasz egyértelmű.

A négyzetgyök kiszámítása:

• A radikandust ortogonális mátrixszal diagonizáljuk (spektráltétel miatt lehetséges).
• Az átlós elemekből négyzetgyököt vonunk, mindig a pozitív értéket választva. Lásd: Cholesky-felbontás
• Visszatérünk az eredeti bázisba.

Az egyértelműség következik abból, hogy az exponenciális leképezés diffeomorfizmus a szimmetrikus mátrixok vektoterében a pozitív definit mátrixokra.

Legyen ${\displaystyle G}$ integrálfüggvény, és legyen ${\displaystyle G,\,g_{i}:=g(x_{i})}$, ahol az ${\displaystyle x_{i}}$ pontokra ${\displaystyle x_{i}=i\Delta x}$ és ${\displaystyle i=0,1,\dotsc ,n-1}$. Legyen továbbá ${\displaystyle F,\,f_{i}:=f(x_{i})}$ függvény, és használjuk az ${\displaystyle G=FI}$ közelítést! Példánkban a mátrix mérete ${\displaystyle n=4}$:

${\displaystyle G=FI={\begin{pmatrix}g_{0}&g_{1}&g_{2}&g_{3}\\0&g_{0}&g_{1}&g_{2}\\0&0&g_{0}&g_{1}\\0&0&0&g_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}\\0&f_{0}&f_{1}&f_{2}\\0&0&f_{0}&f_{1}\\0&0&0&f_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Delta x&\Delta x&\Delta x&\Delta x\\0&\Delta x&\Delta x&\Delta x\\0&0&\Delta x&\Delta x\\0&0&0&\Delta x\end{pmatrix}}}$

Ez a művelet megismételhető, így kapjuk a ${\displaystyle H,\,h_{i}:=h(x_{i})}$ kettős integrált:

${\displaystyle H=GI=FII=FI^{2}}$

így az ${\displaystyle I}$ mátrix felfogható numerikusan közelített integráloperátorként. Az ${\displaystyle I}$ mátrix nem diagonizálható, és Jordan-normálformája:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Delta x&1&0&0\\0&\Delta x&1&0\\0&0&\Delta x&1\\0&0&0&\Delta x\end{pmatrix}}}$

Ebből négyzetgyököt úgy lehet vonni, mint nem diagonizálható mátrixokból. De ebben a speciális esetben van közvetlenebb formális megoldás:

${\displaystyle I^{\beta }={\begin{pmatrix}\alpha _{0}&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\0&\alpha _{0}&\alpha _{1}&\alpha _{2}\\0&0&\alpha _{0}&\alpha _{1}\\0&0&0&\alpha _{0}\end{pmatrix}}}$

ahol ${\displaystyle \alpha _{0}=(\Delta x)^{\beta }}$, ${\displaystyle \alpha _{k}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\Gamma (\beta +1)(-1)^{j+1}\alpha _{k-j}}{\Gamma (j+1)\Gamma (\beta -j+1)}}}$ és ${\displaystyle k=1,2,\dotsc ,n-1}$.

Itt ${\displaystyle \alpha }$ a diagonális indexe (a főátlóé nulla), és a ${\displaystyle \beta }$ kitevő ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Hogyha behelyettesítjük a ${\displaystyle \Delta x}$ pozitív valós számot, így ${\displaystyle (\Delta x)^{\frac {1}{2}}}$ valós, és fdefiníciója alapján pozitív.

Így az ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L,\,l_{i}:=l(x_{i})}$ „fél” határozott integrálja numerikusan közelíthető:

${\displaystyle L=FI^{\beta }={\begin{pmatrix}l_{0}&l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&l_{0}&l_{1}&l_{2}\\0&0&l_{0}&l_{1}\\0&0&0&l_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}\\0&f_{0}&f_{1}&f_{2}\\0&0&f_{0}&f_{1}\\0&0&0&f_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{0}&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\0&\alpha _{0}&\alpha _{1}&\alpha _{2}\\0&0&\alpha _{0}&\alpha _{1}\\0&0&0&\alpha _{0}\end{pmatrix}}}$

Hogyha keressük az összes olyan operátort, ami önmagával szorozva az ${\displaystyle I}$ közelítő integráloperátort adja, akkor be kell tenni a negatív előjelet, így a két megoldás ${\displaystyle \pm I^{\frac {1}{2}}}$.

A levezetéshez invertálni kell ${\displaystyle I}$-t, azt eredményt a ${\displaystyle \beta }$ hatványra emelni, és újra invertálni.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratwurzel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.