Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije je postupak u matematici u kojemu se integral koji se ne može izračunati svodi na integral koji može.

Formula za parcijalnu integraciju se izvodi iz formule za derivaciju produkta funkcija ${\displaystyle (uv)'=u'v+uv'}$, koja se može zapisati kao

${\displaystyle \int uv'dx=uv-\int u'vdx}$

što predstavlja formulu za parcijalnu integraciju.^{[1]:str. 308.}

Funkcije ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v}$ moraju biti izabrane tako da je integral s desne strane jednakosti moguće lakše izračunati nego početni. Treba imati na umu da će se u postupku morati izračunati i pomoćni integral

${\displaystyle \int v'dx}$.

Kao jednostavan primjer može poslužiti integral

${\displaystyle \int xe^{x}dx}$

koji se izračunava parcijalnom integracijom stavljanjem ${\displaystyle u=x}$ i ${\displaystyle v'=e^{x}}$.

Neka je ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$ neprekidna funkcija, i ${\displaystyle v:[a,b]\to \mathbb {R} }$ neprekidno diferencijabilna funkcija. Ako je ${\displaystyle U}$ primitivna od ${\displaystyle u}$ tada je formula za parcijalnu integraciju:^[2]

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v(x)dx=U(b)v(b)-U(a)v(a)-\int _{a}^{b}U(x)v'(x)dx}$