Kompleksni broj

Kompleksni brojevi su algebarski izrazi oblika ${\displaystyle a+bi}$, gdje su ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ realni brojevi, a ${\displaystyle i}$ imaginarna jedinica koja ispunjava jednadžbu ${\displaystyle i^{2}=-1}$.^[1]

Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva zapisanih u obliku uređenih parova definira se formulama:

• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}i)+(a_{2},b_{2}i)=(a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})i}$
• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}i)(a_{2},b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i}$

te analogno za oduzimanje i dijeljenje. Motivacija dolazi iz uobičajenih računskih operacija nad realnim brojevima.

U kompleksnom broju ${\displaystyle z=a+bi}$ broj ${\displaystyle a}$ se naziva realni dio, piše se ${\displaystyle a=Re(z)}$, a broj ${\displaystyle b}$ je imaginarni dio, i piše se ${\displaystyle b=Im(z)}$.

Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz ${\displaystyle i}$ jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi se u rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o profilu krila aviona itd. Kompleksni brojevi izniču u fizici zbog svoje geometrijske prirode (rotacije).

Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Kvadratna ili bilo koja jednadžba višeg stupnja ako ima kompleksna rješenja, ta će rješenja uvijek doći u konjugiranim parovima - imaginarni dio im je suprotan. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređeni par realnih brojeva ${\displaystyle (a,b)}$. Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:

${\displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,}$,

${\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)}$,

${\displaystyle {\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})}$.

Par ${\displaystyle (0,1)}$ se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom ${\displaystyle i}$. Iz potonjih formula slijedi da je ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

${\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1}$.

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

${\displaystyle a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,}$,

${\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}}$, za ${\displaystyle a>0}$ i ${\displaystyle \phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}}$ za ${\displaystyle a<0}$; kada je ${\displaystyle a=0}$ onda je ${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$, ako je ${\displaystyle b>0}$ i ${\displaystyle \phi =-{\frac {\pi }{2}}}$, ako je ${\displaystyle b<0}$. Broj ${\displaystyle \rho }$ se naziva modul kompleksnog broja, a ${\displaystyle \phi }$ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi De Moivreova formula:

${\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}$ .

Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva ${\displaystyle a,b,\rho ,\phi }$ vidi se na crtežu. U zbrajanju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po tzv. pravilu paralelograma.

Duljina vektora ${\displaystyle \rho }$ je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorinog poučka. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrijednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: ${\displaystyle |z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:

${\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,}$;

preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi oblikuju algebarski zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa ${\displaystyle i}$, takvog da je ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

Kako je egzistenciju kompleksnih brojeva kroz povijest pratio određeni skepticizam, veliki njemački matematičar, koji je samostalno otkrio geometriju kompleksnih brojeva, Carl Friedrich Gauss, u jednom je pismu napisao^[2]:

To što je ova tema [imaginarni brojevi] do sada bila okružena tajanstvenom nejasnoćom, uglavnom se može pripisati loše prilagođenom zapisu. Da su se, na primjer, +1, -1 i kvadratni korijen iz -1 nazivali izravnim, inverznim i bočnim jedinicama, umjesto pozitivnim, negativnim i imaginarnim (ili čak nemogućim), takva nejasnoća ne bi dolazila u obzir.