Sinuosité

La sinuosité^[1],[2], ou coefficient de sinuosité^[3], ou indice de sinuosité^[4],[5],[6], d’une courbe continûment dérivable comportant au moins un point d'inflexion est le rapport entre la longueur curviligne (selon le parcours) et la distance (ligne droite) entre les points extrêmes du tracé. Cette grandeur sans dimension est obtenue par le rapport suivant :

${\displaystyle {\text{SI}}={\frac {\text{longueur curviligne}}{\text{distance entre extrémités}}}}$

La valeur varie entre 1 (ligne droite) et l'infini (cas d'une courbe fermée). La sinuosité de 2 demi-cercles inversés continus situés dans le même plan est de ${\displaystyle \pi /2}$ soit environ ${\displaystyle 1{,}5708}$ : elle est donc indépendante du rayon du cercle.

La courbe doit être continue (pas de saut) entre les deux extrémités. La valeur de la sinuosité est vraiment significative lorsque la ligne est toujours dérivable (pas de point anguleux intermédiaire). La distance entre les deux extrémités peut aussi s’évaluer par un cumul de segments selon une ligne brisée passant par les points d’inflexions successifs (sinuosité d'ordre 2).

Le calcul de la sinuosité est valable dans un espace à 3 dimensions (ex : pour l'axe central de l'intestin grêle) bien qu'il ne soit souvent effectué que dans un plan (avec alors une possible projection orthogonale de la courbe dans le plan retenu ; sinuosité "classique" sur plan horizontal, sinuosité de profil en long sur plan vertical). On peut aussi distinguer le cas où le flux s'écoulant sur la ligne ne pourrait physiquement pas parcourir la distance entre les extrémités : dans certaines études hydrauliques, ceci conduit à attribuer une "sinuosité" de 1 pour un torrent s'écoulant sur un substratum rocheux le long d'une projection horizontale rectiligne même si la pente varie (= si la sinuosité du profil en long est supérieure à 1).

La qualification d'une sinuosité (ex : forte / faible) dépend souvent de l'échelle cartographique du tracé et de la vitesse du flux / de l'objet qui s'y écoule (rivière, avalanche, voiture, cycliste, skieur, bobsleigh, TGV, etc.) : la sinuosité d'une même ligne courbe pourrait être considérée comme très forte pour une ligne de TGV mais faible pour une rivière. On voit néanmoins une très forte sinuosité dans la succession de méandres d'une rivière (ex : la Meuse dans les Ardennes), ou dans les virages en lacets de certaines routes de montagne. Le cortex cérébral de l'homme est fortement sinueux alors que celui des autres mammifères est "majoritairement lisse et plat"^[7].

• 
  Méandre de la Meuse à Laifour dans les Ardennes françaises
• 
  Route sinueuse en lacet menant à Luz-Ardiden (65)
• 
  Traces sinueuses dans la neige profonde
• 
  Aperçu de la sinuosité des sillons délimitant les circonvolutions cérébrales du cerveau humain

Pour les cours d'eau, les classes classiques^[8] de sinuosité, SI, sont :

• SI < 1,05 : quasi rectiligne
• 1,05 ≤ SI < 1,25 : sinueux
• 1,25 ≤ SI < 1,50 : très sinueux
• 1,50 ≤ SI : à méandres / méandriforme

Dans ce cas on mesure d'une part la longueur développée selon l'axe du lit mineur et d'autre part, entre les 2 mêmes points, celle selon l'axe général d'orientation du cours d'eau, soit selon la ligne moyenne de l'enveloppe de méandrage, soit selon la ligne passant par tous les points d'inflexion du lit^[9].

Lorsque la sinuosité de la ligne est périodique, on peut en définir une longueur d'onde égale à la distance entre 2 sommets voisins. Son amplitude est alors la distance entre le maximum de l’onde et le segment entre deux points d'inflexion voisins. Dans le cas de plusieurs mêmes demi-cercles inversés continus situés dans le même plan, cette longueur d'onde est de 2 fois le diamètre et l'amplitude est d'un rayon du cercle.

Avec deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continument dérivable :

Angle au centre		Sinuosité
Degrés	Radians	Exacte	Décimale
30°	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}}$	1.0115
60°	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	1.0472
90°	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$	1.1107
120°	${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}}$	1.2092
150°	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}}$	1.3552
180°	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	1.5708
210°	${\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}}$	1.8972
240°	${\displaystyle {\frac {4\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}}$	2.4184
270°	${\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{2{\sqrt {2}}}}}$	3.3322
300°	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3}}}$	5.2360
330°	${\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}}$	11.1267

Attention : avec 3 arcs de cercle semblables opposés joints inversés en continu dérivable et avec l'angle de 300° au centre, les courbes de la première partie de cercle et de la troisième vont tangenter : la courbe se fermant, la sinuosité de ces 3 arcs de cercle semblables passe alors à l'infini. Idem entre 300 et 360° puisque les première et troisième courbes se croisent. À 360°, les points 2 d'inflexion se rejoignant, disparaissant, on ne peut plus alors évoquer la sinuosité.

• Courbure
• Courbure d'un arc
• Rayon de courbure

v · m Courbe - Éléments de navigation
Modes de génération	Représentation graphique d'une fonction mathématique Équation cartésienne Équation polaire Arc paramétré Trajectoire Courbe de niveau Courbe plane Courbe gauche Courbe tracée sur une surface Courbe algébrique Courbe elliptique Courbe de Bézier
Éléments remarquables	Tangente Longueur d'un arc Abscisse curviligne Courbure Cercle osculateur Rayon de courbure Centre de courbure Torsion Repère de Frenet Repère de Darboux Sinuosité Asymptote Point d'inflexion Point de rebroussement Bitangente
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