Nombre de Markstein

Dans les études de combustion le nombre de Markstein a été introduit par George H. Markstein en 1951 pour donner un critère de déclenchement de l'instabilité de Darrieus-Landau. Il est le rapport entre la longueur de Markstein, en l'occurrence la longueur d'onde sonore utilisée pour agir sur la flamme, et l'épaisseur de celle-ci^[1] :

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {\mathcal {L}}{\delta _{L}}}}$

où ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ est la longueur de Markstein et ${\displaystyle \delta _{L}}$ est l'épaisseur caractéristique de la flamme laminaire.

D'une façon plus générale la longueur de Markstein ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ caractérise la topologie du front de flamme, étirement et courbure, phénomènes agissant sur la vitesse de combustion^[2]. Il est donc possible de définir plusieurs nombres de Markstein, chacun lié à un phénomène.

Le nombre de Markstein relatif au mélange de gaz non brûlés a été dérivé par Paul Clavin et Forman Williams en 1982, en utilisant l'asymptotique des grandes énergies d'activation^[3],[4]. La formule a été étendue pour inclure la dépendance en température des conductivités thermiques par Paul Clavin et Pedro Luis Garcia Ybarra en 1983^[5]. La formule de Clavin-Williams est donnée par^[6],[7] :

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {r}{r-1}}{\mathcal {J}}+{\frac {\beta (Le_{\mathrm {eff} }-1)}{2(r-1)}}{\mathcal {I}}}$

où

${\displaystyle {\mathcal {J}}=\int _{1}^{r}{\frac {\lambda (\theta )}{\theta }}d\theta ,\quad {\mathcal {I}}=\int _{1}^{r}{\frac {\lambda (\theta )}{\theta }}\ln {\frac {r-1}{\theta -1}}\,d\theta }$

Ici

${\displaystyle r={\frac {\rho _{u}}{\rho }}>1}$	est le coefficient de détente défini par le rapport des masses volumiques ;
${\displaystyle \beta }$	est le nombre de Zeldovitch ;
${\displaystyle Le_{\mathrm {eff} }}$	est le nombre de Lewis effectif du réactif en quantité inférieure à la stœchiométrie (carburant ou comburant ou une combinaison des deux) ;
${\displaystyle \lambda (\theta )=\rho D_{T}/\rho _{u}D_{T,u}}$	est le rapport du produit masse volumique-conductivité thermique à sa valeur dans le gaz imbrûlé ;
${\displaystyle \theta =T/T_{u}}$	est le rapport entre la température et celle dans du gaz imbrûlé, défini de telle sorte que ${\displaystyle 1\leq \theta \leq r}$.

La fonction ${\displaystyle \lambda (\theta )}$, dans la plupart des cas, est simplement donnée par ${\displaystyle \lambda =\theta ^{n}}$, où ${\displaystyle n\approx 0.7}$, auquel cas nous avons :

${\displaystyle {\mathcal {J}}={\frac {1}{n}}(r^{n}-1),\quad {\mathcal {I}}={\frac {1}{n}}(r^{n}-1)\ln(r-1)-\int _{1}^{r}\theta ^{n-1}\ln(\theta -1)d\theta }$

Dans l'hypothèse du coefficient de transport constant, ${\displaystyle \lambda =1}$, auquel cas :

${\displaystyle {\mathcal {J}}=\ln r,\quad {\mathcal {I}}=-\operatorname {Li} _{2}(1-r)}$

où ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$ est le dilogarithme.

En général, le nombre de Markstein pour les effets de courbure ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{c}}$ et les effets de déformation ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{s}}$ ne sont pas les mêmes dans les flammes réelles^[6],[8] Dans ce cas, on définit un deuxième nombre de Markstein comme :

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}={\mathcal {M}}_{c}-{\mathcal {M}}_{s}}$

• Équation G

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Markstein number » (voir la liste des auteurs).

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