Cono (topología)

En topología y, en particular, en topología algebraica, el cono ${\displaystyle CX}$ de un espacio topológico ${\displaystyle X}$ es el espacio cociente siguiente:

${\displaystyle CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})}$

Intuitivamente, se forma un cilindro con base ${\displaystyle X}$ y se identifican todos los puntos de la cara superior en un solo punto, formando un cono.

• El cono construido sobre un punto ${\displaystyle \{p\}}$ de la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es el segmento ${\displaystyle \{p\}\times [0,1]}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• El cono construido sobre dos puntos ${\displaystyle \{0,1\}}$ es un espacio "en forma de V" con extremos en 0 y 1.
• El cono construido sobre un intervalo real ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ es un triángulo plano (con su interior).
• El cono construido sobre un polígono ${\displaystyle P}$ es una pirámide de base ${\displaystyle P}$.
• El cono construido sobre un disco es el cono sólido de la geometría clásica. De aquí recibe el nombre el concepto topológico.
• El cono construido sobre una circunferencia es la superficie del cono anterior: ${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2},\ 0\leq z\leq 1\}}$. Este último es homeomorfo, proyectándolo sobre el plano XY, al disco ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$.
• Generalizando el ejemplo anterior, se tiene que ${\displaystyle C\mathbb {S} ^{n}\simeq \mathbb {D} ^{n+1}}$, es decir, el cono de una n-esfera es homeomorfo a una (n+1)-bola.
• El cono construido sobre un n-símplex es un (n+1)-símplex.

El cono de un espacio es contráctil (en particular, conexo por caminos y simplemente conexo) pues la identidad es homótopa a constante (igual al vértice del cono) por la homotopía ${\displaystyle H\colon CX\times [0,1]\rightarrow CX}$ dada por ${\displaystyle H(([(x,s)],t))=[(x,t+(1-t)s)]}$, donde ${\displaystyle [(x,s)]}$ denota la clase de equivalencia de ${\displaystyle (x,s)\in X\times [0,1]}$ por la relación de equivalencia por la que se hace el cociente ${\displaystyle CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})}$.

El cono se usa en topología algebraica precisamente porque transforma cualquier espacio topológico en un subespacio de un espacio contráctil: ${\displaystyle X\simeq X\times \{1\}\subseteq CX}$.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Cône (topologie)» de Wikipedia en francés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.

• Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. ISBN 978-0-521-79540-1. 
• Jänich, Klaus (2008). Topologia. Berlin: Springer.