Malplena aro

La norma notacio por malplena aro estas la simbolo ${\displaystyle \varnothing }$  aŭ ∅. Oni ne konfuzu tiun ĉi signon kun la skandinava vokalo Øø kaj la greka litero Φ.

Por kompari, vidu la tri signojn kune: ∅ Øø Φ – la signo de malplena aro estas bazita sur geometria cirklo, sed la skandinava litero similas al ovalo kiel litero 'O'.

La signo de malplena aro "∅" havas unikodan kodon U+2205. Komuna TeX-a pakaĵo uzas por ĝi skribojn \emptyset kaj \varnothing, kiuj respektive aperas kiel:

${\displaystyle \emptyset ,\varnothing }$ 

Alia komuna notacio por la malplena aro estas {}.

• Por ĉiu aro A, la malplena aro estas subaro de A:
• : ∀A: ${\displaystyle \varnothing }$  ⊆ A
• Por ĉiu aro A, la kunaĵo de A kun la malplena aro estas A:
• : ∀A: A ∪ ${\displaystyle \varnothing }$  = A
• Por ĉiu aro A, la komunaĵo de A kun la malplena aro estas la malplena aro:
• : ∀A: A ∩ ${\displaystyle \varnothing }$  = ${\displaystyle \varnothing }$ 
• Por ĉiu aro A, la kartezia produto de A kaj la malplena aro estas malplena:
• : ∀A: A × ${\displaystyle \varnothing }$  = ${\displaystyle \varnothing }$ 
• La sola subaro de la malplena aro estas la malplena aro:
• : ∀A: A ⊆ ${\displaystyle \varnothing }$  ⇒ A = ${\displaystyle \varnothing }$ 
• La nombro de eroj de la malplena aro (tio estas ĝia kardinalo) estas nulo; kaj malplena aro estas finia:
• : |${\displaystyle \varnothing }$ | = 0
• Por ĉiu propraĵo:
  • por ĉiu ero de ${\displaystyle \varnothing }$  la propraĵo estas vera
  • forestas ero de ${\displaystyle \varnothing }$  por kiu la propraĵo estas vera
• Male: se, por iu propraĵo, jenaj du propozicioj estas veraj samtempe:
  • por ĉiu ero de V la propraĵo veras
  • forestas ero de V por kiu la propraĵo veras

tiam V = ${\displaystyle \varnothing }$ 

Eblas diri, ke per la malplena aro komenciĝas la matematiko, ĉar oni povas uzi ĝin por ekkrei la entjerojn; el la entjeroj eblas konstrui aliajn nombrojn ktp.

Laŭ John von Neumann, oni povas procedi jene:

• kiun kvanton da elementoj kunmetas la malplena aro {}? Nul (0).
• kiun kvanton da elementoj kunmetas la aro {0} ? Unu (1).
• kiun kvanton da elementoj kunmetas la aro {0,1} ? Du. Ktp.

Tiel oni povas difini ĉiujn entjerojn, uzante nur unu aĵon.

Matematikistoj kutime parolas pri "la malplena aro", ĉar laŭ aroteorio du aroj estas samaj, se ili havas la samajn erojn; pro tio povas esti nur unu senelementa aro.

• Unuera aro (matematiko)
• Duera aro