Simbolo de Wythoff
En geometrio, simbolo de Wythoff estas mallonga skribmaniero, kreita de matematikisto Willem Abraham Wythoff, por nomado de regula kaj duonregulaj pluredroj uzante konstruon de Wythoff, per prezentado de ili kiel kahelaroj sur la surfaco de sfero, eŭklida ebeno, aŭ hiperbola ebeno.
La simbolo de Wythoff donas 3 nombrojn p q r kaj pozicion de vertikala streko (|) kiu apartigas la nombroj antaŭ kaj post ĝi. Ĉiu nombro prezentas la ordo de speguloj je vertico de la fundamenta triangulo.
Ĉiu simbolo prezentas unu uniforman pluredron aŭ uniforman kahelaron, kvankam la sama kahelaro/pluredro povas havi malsamajn simbolojn de Wythoff de malsamaj generaj simetrioj. Ekzemple, la regula kubo povas esti prezentita per 3 | 4 2 kun Oh simetrio, kaj 2 4 | 2 kiel kvadrata prismo kun 2 koloroj kaj D4h simetrio, kaj ankaŭ 2 2 2 | kun 3 koloroj kaj D2h simetrio.
Enkonduka tabelo
[redakti | redakti fonton]Estas 7 generilaj punktoj kun ĉiu aro de p,q,r: (kaj kelkaj speciala formoj)
| Ĝenerala | Orta triangulo (r=2) | |||
|---|---|---|---|---|
| Priskribo | Simbolo de Wythoff |
Vertica konfiguro |
Simbolo de Wythoff |
Vertica konfiguro |
| regula kaj kvazaŭregula |
q | p r | (p.r)q | q | p 2 | pq |
| p | q r | (q.r)p | p | q 2 | qp | |
| r | p q | (q.p)r | 2 | p q | (q.p)2 | |
| senpintigita kaj elvolvita |
q r | p | q.2p.r.2p | q 2 | p | q.2p.2p |
| p r | q | p.2q.r.2q | p 2 | q | p.2q.2q | |
| p q | r | 2r.q.2r.p | p q | 2 | 4.q.4.p | |
| zonopluredro | p q r | | 2r.2q.2p | p q 2 | | 4.2q.2p |
| p q (r s) | | 2p.2q.-2p.-2q | p 2 (r s) | | 2p.4.-2p.4/3 | |
| riproĉa | | p q r | 3.r.3.q.3.p | | p q 2 | 3.3.q.3.p |
| | p q r s | (4.p.4.q.4.r.4.s)/2 | - | - | |
Estas tri specialaj okazoj:
- p q (r s) | - ĉi tio estas miksaĵo de p q r | kaj p q s |.
- | p q r - riproĉaj formoj (alternitaj) donas ĉi tiun alie neuzatan simbolon.
- | p q r s - unika riproĉa formo por granda durombo-dudek-dekduedro kiu ne estas konstruebla per konstruo de Wythoff.
Priskribo
[redakti | redakti fonton]La p,q,r prezentas la formon de la fundamenta triangulo de la simetrio, aparte ĉiu nombro estas la kvanto de reflektoj (speguloj) kiuj ekzistas je ĉiu vertico.
Ĉiu el anguloj de la simetria triangulo egalas al duoncirklo (π radianoj) dividita per la respektiva nombro el simbolo de Wythoff. Se sumo de ĉiuj anguloj estas pli granda ol π do la triangulo estas sfera. Se la sumo egalas al π do la triangulo estas sur eŭklida ebeno. Se la sumo estas malpli granda ol π do la triangulo estas sur hiperbola ebeno.
Sur la sfero estas 3 ĉefaj specoj de simetrio: (3 3 2), (4 3 2), (5 3 2), kaj unu malfinia familio (p 2 2), por ĉiu p=2,3,... . Ĉiuj simplaj familioj havas unu orton kaj do r=2, ĉar eĉ minimuma simbolo sen orto - simetrio (3 3 3) jam implicas sumon de anguloj egelan al π kaj do respektivas al eŭklida ebeno.
La pozicio de la vertikala streko en la simbolo estas uzata por havi specifajn formojn per poziciigo de la generila punkto en la fundamenta triangulo. La generila punkto povas esti aktiva aŭ neaktiva por ĉiu spegulo. Ĉi tiu distingo kreas 7 (23-1) eblajn formojn neglektante tiun en kiu la generila punkto estas sur ĉiu speguloj, kaj do tute neaktiva.
En ĉi tiu skribmaniero la speguloj estas markita per la reflekto-ordo de la kontraŭa vertico. La p,q,r valoroj estas listita antaŭ la baro se la respektiva spegulo estas aktiva.
La unu neebla simbolo | p q r, kiu implicas ke la generila punkto estas sur ĉiuj speguloj kio estas nur ebla se la triangulo estas unu sola punkto. Ĉi tiu neuzata simbolo estas uzata por signifi ion malsaman. Ĉi tiu simbolo prezentas la okazon en kiu ĉiuj speguloj estas aktivaj, sed nepara-nombraj reflektitaj bildoj estas ignoritaj. Ĉi tio kreas turnajn simetriajn.
Ĉi tiu simbolo estas funkcie simila al la pli ĝenerala figuro de Coxeter-Dynkin kiu montras triangulon markitan kiel p, q, r sur la randoj, kun cirkletoj ĉirkaŭ punktoj prezentantaj spegulojn kiuj tuŝas la generilan punkton. (La figuro de Coxeter-Dynkin estas montrata kiel lineara grafikaĵo kiam r=2 ĉar tie ne estas intero de reflektoj trans orto.)
Simetriaj trianguloj
[redakti | redakti fonton]Estas 4 simetriaj klasoj de reflektoj sur la sfero, kaj du sur la eŭklida ebeno. Por la hiperbola ebeno ili estas malfinie multaj, kelkaj estas listigitaj ĉi tie.
- (p 2 2) duedra simetrio p=2,3,4... (ordo 4p)
- (3 3 2) kvaredra simetrio (ordo 24)
- (3 3 3) *333 simetrio (eŭklida ebeno)
- (4 3 3) *433 simetrio (hiperbola ebeno)
- (4 4 3) *443 simetrio (hiperbola ebeno)
- (4 4 4) *444 simetrio (hiperbola ebeno)
- (4 3 2) okedra simetrio (ordo 48)
- (4 4 2) - *442 simetrio - 45°-45°-90° triangulo (Inkluzivas kvadratan domajnon (2 2 2 2))
- (5 3 2) - dudekedra simetrio (Ordo 120)
- (5 4 2) - *542 simetrio (hiperbola ebeno)
- (5 5 2) - *552 simetrio (hiperbola ebeno)
- (3 3 3) - *333 simetrio - 60°-60°-60° triangulo
- (6 3 2) - *632 simetrio - 30°-60°-90° triangulo
- (7 3 2) - *732 simetrio (hiperbola ebeno)
- (8 3 2) - *832 simetrio (hiperbola ebeno)
| Duedra sfera | Sfera | |||
|---|---|---|---|---|
| D2h | D3h | Td | Oh | Mih |
| *222 | *322 | *332 | *432 | *532 |
 (2 2 2) |
 (3 2 2) |
 ( 3 3 2) |
 (4 3 2) |
 (5 3 2) |
La montritaj pli supre geometriaj simetriaj grupoj nur inkluzivas la entjerajn solvaĵojn sur la sfero. La listo de trianguloj de Schwarz inkluzivas racionalajn nombrojn, kaj donas la plenan aron de la solvaĵoj de uniformaj pluredroj.
| Eŭklida ebeno | Hiperbola ebeno | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| p4m | p3m | p6m | |||
| *442 | *333 | *632 | *732 | *542 | *433 |
 (4 4 2) |
 (3 3 3) |
 (6 3 2) |
 (7 3 2) |
 (5 4 2) |
 (4 3 3) |
En la kahelaroj pli supre, ĉiu triangulo estas fundamenta domajno, kolorigita per paraj kaj neparaj reflektoj.
Enkondukaj sferaj kaj ebenaj kahelaroj
[redakti | redakti fonton]Elektado de kahelaroj kreitaj per la Konstruo de Wythoff estas donita pli sube.
Sferaj kahelaroj (r=2)
[redakti | redakti fonton]| (p q 2) | Trianguloj | Gepatra | Senpintigita | Rektigita | Dutranĉita | Durektigita (duala) |
Laterotranĉita | Entutotranĉita | Riproĉa |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simbolo de Wythoff | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
| Simbolo de Schläfli | t0{p,q} | t0,1{p,q} | t1{p,q} | t1,2{p,q} | t2{p,q} | t0,2{p,q} | t0,1,2{p,q} | s{p,q} | |
| Figuro de Coxeter-Dynkin | |||||||||
| Vertica konfiguro | pq | (q.2p.2p) | (p.q.p.q) | (p.2q.2q) | qp | (p.4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p.3.q) | |
| Kvaredra (3 3 2) |
|
 {3,3} |
 (3.6.6) |
 (3.3a.3.3a) |
 (3.6.6) |
 {3,3} |
 (3a.4.3b.4) |
 (4.6a.6b) |
 (3.3.3a.3.3b) |
| Okedra (4 3 2) |
|
 {4,3} |
 (3.8.8) |
 (3.4.3.4) |
 (4.6.6) |
 {3,4} |
 (3.4.4a.4) |
 (4.6.8) |
 (3.3.3a.3.4) |
| Dudekedra (5 3 2) |
|
 {5,3} |
 (3.10.10) |
 (3.5.3.5) |
 (5.6.6) |
 {3,5} |
 (3.4.5.4) |
 (4.6.10) |
 (3.3.3a.3.5) |
Ebenaj kahelaroj (r=2)
[redakti | redakti fonton]Unu hiperbola kahelaro estas donita, kaj ĝi estas montrita kiel projekcio je disko de Poincaré .
| (p q 2) | Trianguloj | Gepatra | Senpintigita | Rektigita | Dutranĉita | Durektigita (duala) |
Laterotranĉita | Entutotranĉita | Riproĉa |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simbolo de Wythoff | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
| Simbolo de Schläfli | t0{p,q} | t0,1{p,q} | t1{p,q} | t1,2{p,q} | t2{p,q} | t0,2{p,q} | t0,1,2{p,q} | s{p,q} | |
| Figuro de Coxeter-Dynkin | |||||||||
| Vertica konfiguro | pq | (q.2p.2p) | (p.q.p.q) | (p.2q.2q) | qp | (p.4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p.3.q) | |
| Kvadrata kahelaro (4 4 2) |
|
 {4,4} |
 4.8.8 |
 4.4a.4.4a |
 4.8.8 |
 {4,4} |
 4.4a.4b.4a |
 4.8.8 |
 3.3.4a.3.4b |
| (Hiperbola ebeno) (5 4 2) |
|
 {5,4} |
 4.10.10 |
 4.5.4.5 |
 5.8.8 |
 {4,5} |
 4.4.5.4 |
 4.8.10 |
 3.3.4.3.5 |
| (Hiperbola ebeno) (5 5 2) |
 {5,5} |
 5.10.10 |
 5.5.5.5 |
 5.10.10 |
 {5,5} |
 4.4.5.4 |
 4.10.10 |
 3.3.5.3.5 | |
| Seslatera kahelaro (6 3 2) |
|
 {6,3} |
 3.12.12 |
 3.6.3.6 |
 6.6.6 |
 {3,6} |
 3.4.6.4 |
 4.6.12 |
 3.3.3.3.6 |
| (Hiperbola ebeno) (7 3 2) |
|
 {7,3} |
 3.14.14 |
 3.7.3.7 |
 7.6.6 |
 {3,7} |
 3.4.7.4 |
 4.6.14 |
 3.3.3.3.7 |
| (Hiperbola ebeno) (8 3 2) |
 {8,3} |
 3.16.16 |
 3.8.3.8 |
 8.6.6 |
 {3,8} |
 3.4.8.4 |
 4.6.16 |
 3.3.3.3.8 |
Ebenaj kahelaroj (r>2)
[redakti | redakti fonton]La figuro de Coxeter-Dynkin estas donita en lineara formo, kvankam ĝi estas reale triangulo, kun la segmento r konektanta al la unua ĝia vertico.
| Simbolo de Wythoff (p q r) |
Fonduso. trianguloj |
q | p r | r q | p | r | p q | r p | q | p | q r | p q | r | p q r | | | p q r |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Figuro de Coxeter-Dynkin | |||||||||
| Vertica konfiguro | (p.q)r | (r.2p.q.2p) | (p.r)q | (q.2r.p.2r) | (q.r)p | (q.2r.p.2r) | (r.2q.p.2q) | (3.r.3.q.3.p) | |
| Triangula (3 3 3) |
|
 (3.3)3 |
 3.6.3.6 |
 (3.3)3 |
 3.6.3.6 |
 (3.3)3 |
 3.6.3.6 |
 6.6.6 |
 3.3.3.3.3.3 |
| Hiperbola (4 3 3) |
|
 (3.4)3 |
 3.8.3.8 |
 (3.4)3 |
 3.6.4.6 |
 (3.3)4 |
 3.6.4.6 |
 6.6.8 |
 3.3.3.3.3.4 |
| Hiperbola (4 4 3) |
 (3.4)4 |
 3.8.4.8 |
 (3.4)4 |
 3.6.4.6 |
 (3.4)4 |
 4.6.4.6 |
 6.8.8 |
 3.3.3.4.3.4 | |
| Hiperbola (4 4 4) |
Dosiero:Uniform tiling 444-t0.svg (4.4)4 |
 4.8.4.8 |
 (4.4)4 |
 4.8.4.8 |
 (4.4)4 |
 4.8.4.8 |
 8.8.8 |
 3.4.3.4.3.4 |
Kelkfoje kovrantaj sferaj kahelaroj (r=2)
[redakti | redakti fonton]Kahelaroj estas montrita kiel pluredroj. Iu de la formoj estas degeneraj, donita kun krampoj por verticaj konfiguroj, kun interkovrantaj randoj aŭ verticoj.
| (p q 2) | Triangulo | Gepatra | Senpintigita | Rektigita | Dutranĉita | Durektigita (duala) |
Laterotranĉita | Entutotranĉita | Riproĉa |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simbolo de Wythoff | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
| Simbolo de Schläfli | t0{p,q} | t0,1{p,q} | t1{p,q} | t1,2{p,q} | t2{p,q} | t0,2{p,q} | t0,1,2{p,q} | s{p,q} | |
| Figuro de Coxeter-Dynkin | |||||||||
| Vertica konfiguro | pq | (q.2p.2p) | (p.q.p.q) | (p.2q.2q) | qp | (p.4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p.3.q) | |
| Dudekedra (5/2 3 2) |
 {3,5/2} |
 (5/2.6.6) |
 (3.5/2)2 |
 [3.10/2.10/2] |
 {5/2,3} |
 [3.4.5/2.4] |
 [4.10/2.6] |
 (3.3.3.3.5/2) | |
| Dudekedra (5 5/2 2) |
 {5,5/2} |
 (5/2.10.10) |
 (5/2.5)2 |
 [5.10/2.10/2] |
 {5/2,5} |
 (5/2.4.5.4) |
 [4.10/2.10] |
 (3.3.5/2.3.5) |
Vidu ankaŭ
[redakti | redakti fonton]- Regula hiperpluredro
- Regula pluredro
- Listo de uniformaj ebenaj kahelaroj
- Listo de uniformaj pluredroj
- Unuforma pluredro
- Vertica figuro
- Triangulo de Schwarz
Referencoj
[redakti | redakti fonton]- Harold Scott MacDonald Coxeter, Regulaj hiperpluredroj, Tria redakcio, (1973), Dovera redakcio, ISBN 0-486-61480-8 (Ĉapitro V: La kalejdoskopo, sekcio: 5.7 konstruo de Wythoff)
- Harold Scott MacDonald Coxeter, La belo de geometrio: Dek du eseoj, Doveraj Eldonoj, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Ĉapitro 3: Konstruo de Wythoff por uniformaj hiperpluredroj)
- Harold Scott MacDonald Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniformaj pluredroj, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50.
Eksteraj ligiloj
[redakti | redakti fonton]- Eric W. Weisstein, Simbolo de Wythoff en MathWorld.
- La simbolo de Wythoff
- Simbolo de Wythoff[rompita ligilo]
- Elmontras uniformajn pluredrojn uzante konstruan manieron de Wythoff Arkivigite je 2005-11-10 per la retarkivo Wayback Machine
- Priskribo de konstruo Wythoff Arkivigite je 2005-11-09 per la retarkivo Wayback Machine
- KaleidoTile 3 Libera kleriga programaro por Vindozo de Jeffrey Weeks kiu generis multajn bildojn sur la paĝo.