Modelo de Einstein

La modelo de Einstein estas modelo de solido kiel aro de harmonaj osciloj kiuj ne interagas kaj oscilas ĉe la sama frekvenco.

Konsideru unu harmonan oscilon kun frekvenco ${\displaystyle \omega }$. La dispartiga funkcio estas do

${\displaystyle Z(T)=\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-(n+1/2)\hbar \omega /kT)}$

${\displaystyle ={\frac {\exp(-\hbar \omega /2kT)}{1-\exp(-\hbar \omega /kT)}}={\frac {1}{2\sinh(\hbar \omega /2kT)}}}$.

La dispartiga funkcio de ${\displaystyle 3N}$ tiaj osciloj estas do

${\displaystyle Z(T)={\frac {1}{(2\sinh(\hbar \omega /2kT))^{3N}}}}$.

(Ni konsideru ${\displaystyle 3N}$ oscilojn ĉar ĉiu partiklo havas tri gradojn de libereco laŭ la tri dimensioj de spaco.) La averaĝa energio ${\displaystyle U}$ de la sistemo de ${\displaystyle 3N}$ osciloj ĉe temperaturo ${\displaystyle T}$ estas

${\displaystyle U(T)=-{\frac {\operatorname {d} \ln Z}{\operatorname {d} (1/kT)}}={\frac {3}{2}}N\hbar \omega \coth {\frac {\hbar \omega }{2kT}}}$.

La sendimensia varmokapacito estas

${\displaystyle C_{V}/Nk={\frac {1}{Nk}}{\frac {\operatorname {d} \!U}{\operatorname {d} \!T}}={\frac {3(\hbar \omega /2kT)^{2}}{\sinh ^{2}(\hbar \omega /2kT)}}}$.

Ĉe grandega temperaturo ${\displaystyle T\gg \hbar \omega /k}$,

${\displaystyle C_{V}/Nk\to 3}$.

Tiu ĉi fakto nomiĝas la leĝo de Dulong–Petit.

Ĉe malgrandega temperaturo ${\displaystyle T\ll \hbar \omega /k}$,

${\displaystyle C_{V}/Nk\approx {\frac {3(\hbar \omega /kT)^{2}}{\exp(\hbar \omega /kT)}}\to 0}$.

Vidu ankaŭ: Modelo de Debye

• A. Einstein, "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", Annalen der Physik, vol. 22, pp. 180–190, 1907.
• B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Éléments de physique statistique, 1996.
• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Mécanique quantique.