Satz von Riemann-Roch

Um Null- und Polstellen einer Funktion an bestimmten Stellen vorschreiben zu können, wird der Begriff Divisor eingeführt. Sei ${\displaystyle X}$  eine riemannsche Fläche. Eine Funktion ${\displaystyle D\colon X\rightarrow \mathbb {Z} }$  heißt Divisor, falls sie nur an isolierten Punkten von null verschieden ist.

Der Divisor einer meromorphen Funktion ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}$  in die riemannsche Sphäre wird mit ${\displaystyle (f)}$  bezeichnet und ist so definiert, dass jedem Punkt ${\displaystyle x\in X}$  die Null- bzw. Polstellenordnung von ${\displaystyle f}$  in ${\displaystyle x}$  zugeordnet wird:

${\displaystyle \left(f\right)(x):={\begin{cases}0,&f{\mbox{ holomorph und ungleich null in }}x\\k,&f{\mbox{ hat eine Nullstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\\-k,&f{\mbox{ hat eine Polstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\\\infty ,&f{\mbox{ verschwindet in einer Umgebung von }}x\end{cases}}}$ 

Damit ist der Divisor einer Funktion tatsächlich ein Divisor nach der ersten Definition, wenn die Funktion auf jeder Zusammenhangskomponente von ${\displaystyle X}$  von der Nullfunktion verschieden ist. Für eine meromorphe 1-Form ${\displaystyle \omega }$  auf ${\displaystyle X}$  wird der Divisor ${\displaystyle (\omega )}$  wie bei einer Funktion definiert. Ein Divisor ${\displaystyle D}$  heißt kanonischer Divisor, wenn er sich als Divisor einer meromorphen 1-Form ${\displaystyle (\omega )}$  schreiben lässt, also wenn ${\displaystyle D=(\omega )}$ .

Für eine kompakte riemannsche Fläche ist der Grad eines Divisors ${\displaystyle D}$  definiert durch ${\displaystyle \textstyle \deg D:=\sum _{x\in X}D(x)}$ . Die Summe ist endlich, da aufgrund der Kompaktheit der Träger aus isolierten Punkten eine endliche Menge sein muss.

Sei ${\displaystyle X}$  eine kompakte riemannsche Fläche vom topologischen Geschlecht ${\displaystyle g\in \mathbb {N} _{0}}$  und ${\displaystyle D}$  ein Divisor auf ${\displaystyle X}$ . Dann gilt:

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg D+1-g}$ 

${\displaystyle K}$  steht für einen beliebigen kanonischen Divisor auf ${\displaystyle X}$ . ${\displaystyle \ell (E)}$  bezeichnet für einen Divisor ${\displaystyle E}$  die Dimension des ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraums ${\displaystyle L(E)}$  der meromorphen Funktionen auf ${\displaystyle X}$ , deren Null- und Polstellen durch den Divisor wie folgt eingeschränkt werden:

${\displaystyle L(E):=\left\{f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}{\mbox{ meromorph}}\,|\,\left(f\right)(x)\geq -E(x)\;\forall \,x\in X\right\}}$ 

Für nicht-singuläre projektive algebraische Kurven ${\displaystyle X}$  über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle K}$  wird der Satz von Riemann-Roch üblicherweise mit Hilfe der Kohomologietheorie formuliert.

Er lautet dann:

${\displaystyle \dim _{K}H^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)-\dim _{K}H^{1}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)=1-g}$ 

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$  ist die Garbe der regulären Funktionen auf ${\displaystyle X}$ . Anstelle des topologischen Geschlechts tritt das arithmetische Geschlecht der Kurve, welches im Falle ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$  mit dem topologischen zusammenfällt. Der Dualitätssatz von Serre besagt, dass die Formulierung im Falle ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$  mit der des Abschnitts über riemannsche Flächen übereinstimmt.

• Als ein erstes Klassifikationsresultat folgt sofort, dass jede riemannsche Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle 0}$  isomorph ist zur riemannschen Sphäre ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ , insbesondere kann also auf der Sphäre ${\displaystyle {S}^{2}}$  nur eine einzige holomorphe Struktur definiert werden. Für nicht-singuläre projektive Kurven vom Geschlecht ${\displaystyle 0}$  gilt entsprechend, dass sie birational äquivalent zu ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$  sind.
• Die Formel von Riemann-Hurwitz über das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen zwischen zwei kompakten riemannschen Flächen bzw. über das Abbildungsverhalten von Morphismen zwischen zwei nicht-singulären projektiven Kurven.
• Ein Einbettungssatz: Jede kompakte riemannsche Fläche bzw. jede nicht-singuläre projektive Kurve kann in den projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$  eingebettet werden.

• Satz von Riemann-Roch-Hirzebruch
• Satz von Riemann-Roch-Grothendieck
• Atiyah-Singer-Indexsatz

• Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 0-387-90244-9.
• Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-57053-5.
• Jeremy Gray, The Riemann-Roch theorem and geometry, 1854-1914, ICM Berlin 1998, Documenta Mathematica, 1998, S. 811–822