Frobenius-Normalform

Wenn eine Matrix ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$  diagonalisierbar ist, zerfällt ihr charakteristisches Polynom ${\displaystyle f(x)={\rm {det}}(xE-A)}$  in lauter Linearfaktoren ${\displaystyle (x-\lambda _{1})\cdot \ldots \cdot (x-\lambda _{n})}$  mit Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{i}\in K}$ . Die zugehörigen Eigenvektoren ${\displaystyle v_{i}}$  mit ${\displaystyle (A-\lambda _{i}E)v_{i}=0}$  bilden eine Basis des Vektorraums ${\displaystyle K^{n}}$ , in der jeder Basisvektor durch ${\displaystyle A}$  auf ein Vielfaches von sich abgebildet wird.

Bei einer nicht diagonalisierbaren Matrix ${\displaystyle A}$  sind nicht genügend Eigenvektoren für eine Basis vorhanden, oder das charakteristische Polynom ${\displaystyle f=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{l}}$  zerfällt in irreduzible Faktoren ${\displaystyle p_{i}}$ , die nicht alle Grad 1 haben. Zur Ermittlung der Frobenius-Normalform von ${\displaystyle A}$  wird dann analog zum letzten Absatz eine Basis aus Vektoren gesucht, die von bestimmten Produkten der irreduziblen Faktoren ${\displaystyle f_{i}(A)=p_{j_{1}}(A)\cdots p_{j_{k}}(A)}$  etc. zu null gemacht werden. Es zeigt sich, dass dies möglich ist und man schließlich eine Darstellung ${\displaystyle f=f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{m}}$  erhält, in der ${\displaystyle f_{1}}$  Teiler von ${\displaystyle f_{2}}$  ist, ${\displaystyle f_{2}}$  Teiler von ${\displaystyle f_{3}}$  usw. Zum Faktor ${\displaystyle f_{i}(x)=x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{0}}$  gehören dabei die Basisvektoren ${\displaystyle (v_{i},Av_{i},\ldots ,A^{d-1}v_{i})}$ , deren Teilraum wegen ${\displaystyle f_{i}(A)v_{i}=0=(A^{d}+a_{d-1}A^{d-1}+\cdots +a_{0}E)v_{i}}$  von ${\displaystyle A}$  in sich abgebildet wird und auf dem ${\displaystyle A}$  bezüglich dieser Basisvektoren durch die Matrix

${\displaystyle B_{f_{i}}={\begin{pmatrix}&&&-a_{0}\\1&&&-a_{1}\\&\ddots &&\vdots \\&&1&-a_{d-1}\end{pmatrix}}}$ 

dargestellt wird (die nicht angegebenen Einträge in dieser sog. Begleitmatrix zum Polynom ${\displaystyle f_{i}}$  sind 0). Der gesamte Vektorraum ${\displaystyle K^{n}}$  zerfällt in solche ${\displaystyle A}$ -invarianten Teilräume, und ${\displaystyle A}$  lässt sich insgesamt durch die Blockdiagonalmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{f_{1}}&&\\&\ddots &\\&&B_{f_{m}}\end{pmatrix}}}$ 

darstellen. Sie ist die Frobenius-Normalform von ${\displaystyle A}$ .

Ein Nachteil dabei ist, dass die Frobenius-Normalform einer Diagonalmatrix mit Eigenwerten 1 und 2 nicht Diagonalform hat, sondern

${\displaystyle B_{x^{2}-3x+2}={\begin{pmatrix}0&-2\\1&3\end{pmatrix}}}$ 

ist. Abhilfe schafft hier die Weierstraß-Normalform, in der die Begleitmatrix ${\displaystyle B_{f_{i}}}$  in der Blockdiagonalmatrix ersetzt wird durch die Begleitmatrizen der Potenzen verschiedener irreduzibler Faktoren von ${\displaystyle f_{i}}$ , also etwa durch

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{p_{1}^{2}}&\\&B_{p_{2}}\end{pmatrix}},}$ 

falls ${\displaystyle f_{i}=p_{1}^{2}p_{2}}$  mit ${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$ . Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle diese Faktoren linear sind und keiner in zweiter oder höherer Potenz vorkommt; also ist dann auch ihre Weierstraß-Normalform eine Diagonalmatrix.

Die Menge aller Polynome, das sind Ausdrücke der Form ${\displaystyle h(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{d}x^{d}}$ , mit Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}\in K}$ , bildet einen Ring, den sog. Polynomring ${\displaystyle K[x]}$ . Wenn eine Matrix ${\displaystyle A\in K^{n\times n}}$  vorgegeben ist, kann man ein Produkt aus Polynom ${\displaystyle h\in K[x]}$  und Vektor ${\displaystyle u\in K^{n}}$  definieren durch ${\displaystyle h(x)\cdot u=h(A)\cdot u}$ , für das die erwarteten Assoziativ- und Distributivgesetze gelten. Man spricht von einer Operation des Polynomrings auf dem Vektorraum, durch die der Vektorraum ${\displaystyle K^{n}}$  zu einem ${\displaystyle K[x]}$ -Modul ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  wird.

Nach Wahl einer Basis ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{n})}$  von ${\displaystyle K^{n}}$  kann man einen ${\displaystyle K[x]}$ -Modul-Isomorphismus ${\displaystyle \beta \colon K[x]^{n}/M\to {\mathcal {A}}}$  angeben. Sein Definitionsbereich ist der Faktormodul von ${\displaystyle K[x]^{n}}$  modulo ${\displaystyle M=\langle xE-A\rangle }$ , wobei der Ausdruck in spitzen Klammern (in einer ad hoc gewählten Notation) das Erzeugnis der Spalten der charakteristischen Matrix ${\displaystyle xE-A}$  bezeichnet. Dieser Isomorphismus überträgt die Operation des Polynomrings, d. h., ${\displaystyle \beta (hg+M)=h\beta (g+M)}$  für ${\displaystyle h\in K[x]}$ , ${\displaystyle g\in K[x]^{n}}$ , und er ist definiert durch

${\displaystyle \beta ({\begin{pmatrix}g_{1}\\\vdots \\g_{n}\end{pmatrix}}+M)=\sum _{i=1}^{n}g_{i}(A)u_{i}.}$ 

Die charakteristische Matrix ${\displaystyle xE-A\in K[x]^{n\times n}}$  mit Einträgen im Polynomring kann durch den Elementarteileralgorithmus in eine Matrix

${\displaystyle P(xE-A)Q={\begin{pmatrix}1&&&&&\\&\ddots &&&&\\&&1&&&\\&&&f_{1}&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&f_{m}\end{pmatrix}}}$ 

mit invertierbaren ${\displaystyle P,Q\in K[x]^{n\times n}}$  überführt werden, wobei ${\displaystyle f_{1}}$  Teiler von ${\displaystyle f_{2}}$  ist, ${\displaystyle f_{2}}$  Teiler von ${\displaystyle f_{3}}$  usw., und die Polynome ${\displaystyle f_{i}}$  führenden Koeffizienten 1 haben. Diese Polynome heißen die Invariantenteiler der charakteristischen Matrix, die Potenzen der irreduziblen Faktoren der ${\displaystyle f_{i}}$  heißen Elementarteiler, und ${\displaystyle f=f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{m}}$  ist das charakteristische Polynom von ${\displaystyle A}$ , denn ${\displaystyle f=\det(xE-A)=\det(P(xE-A)Q)}$  (die Determinante der charakteristischen Matrix ändert sich nicht bei Multiplikation mit den invertierbaren ${\displaystyle P}$  und ${\displaystyle Q}$ ). ${\displaystyle f_{m}}$  ist das Minimalpolynom von ${\displaystyle A}$ .

Wegen der Invertierbarkeit von ${\displaystyle P}$  und ${\displaystyle Q}$  ist der ${\displaystyle K[x]}$ -Modul ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  nun nicht nur isomorph (nämlich durch ${\displaystyle \beta }$ ) zu ${\displaystyle K[x]^{n}/\langle xE-A\rangle }$ , sondern auch isomorph zu ${\displaystyle K[x]^{n}/\langle P(xE-A)Q\rangle }$ . Dieser Faktormodul zerfällt als direkte Summe ${\displaystyle K[x]/(f_{1})\oplus \cdots \oplus K[x]/(f_{m})}$ ; siehe auch den Satz über invariante Faktoren in endlich erzeugten Moduln über einem Hauptidealring. Die Operation des Polynoms ${\displaystyle x}$  auf dem direkten Summanden ${\displaystyle K[x]/(f_{i})}$  wird durch die Begleitmatrix ${\displaystyle B_{f_{i}}}$  dargestellt, wenn eine Basis ${\displaystyle (v_{i},x\cdot v_{i},\ldots )=(v_{i},Av_{i},\ldots )}$  wie im vorigen Abschnitt gewählt wird, und für die Operation von ${\displaystyle x}$  bzw. ${\displaystyle A}$  auf dem ganzen Modul ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  ergibt sich eine Darstellung durch die Frobenius-Normalform.

Ist eine weitere Matrix ${\displaystyle A'\in K^{n\times n}}$  gegeben, so macht diese ${\displaystyle K^{n}}$  zu einem weiteren ${\displaystyle K[x]}$ -Modul ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ . Ein Isomorphismus ${\displaystyle \gamma \colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}'}$  muss die Operation von ${\displaystyle K[x]}$  übertragen, also ${\displaystyle \gamma \circ A=A'\circ \gamma }$ , was bedeutet, dass ${\displaystyle A'}$  durch die Matrix von ${\displaystyle \gamma }$  bzgl. der gewählten Basis ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{n})}$  in ${\displaystyle A}$  transformiert wird. Ähnlichkeit von Matrizen ${\displaystyle A}$  und ${\displaystyle A'}$  ist demnach gleichbedeutend mit Isomorphie der zugehörigen ${\displaystyle K[x]}$ -Moduln ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  und ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ ; und deren oben besprochene Zerlegung in invariante Faktoren hat gezeigt, dass diese Isomorphie genau dann vorliegt, wenn die charakteristischen Matrizen ${\displaystyle xE-A}$  und ${\displaystyle xE-A'}$  dieselben Elementarteiler haben. Diese Aussage ist als Lemma von Frobenius bekannt.

Als weitere Folgerung aus dem Gezeigten ergibt sich der Satz von Cayley-Hamilton: Die Operation des charakteristischen Polynoms ${\displaystyle f}$  macht alle direkten Summanden ${\displaystyle K[x]/(f_{i})}$  zu null, weil alle ${\displaystyle f_{i}}$  Teiler von ${\displaystyle f}$  sind. Deswegen gilt ${\displaystyle f(A)=0}$ , d. h. jede quadratische Matrix ist Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms.

• Falko Lorenz: Lineare Algebra II, 3. Auflage