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Fréchet-Prinzip

Ansatz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Das Fréchet-Prinzip, benannt nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet (1878–1973), ist ein allgemeingültiges Rezept, um für Zufallsvariablen in geeigneter Weise Erwartungswert und Varianz zu definieren. Das Prinzip geht auf eine Arbeit von Fréchet von 1948 zurück.[1]

Definitionen

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Sei   ein metrischer Raum, wobei   eine Metrik auf der Grundmenge   ist. Sei weiter   eine Zufallsvariable mit Werten in  . Dann ist der Fréchet-Erwartungswert   definiert als der Wert, der den erwarteten quadratischen metrischen Abstand zwischen   und den Elementen   minimiert, d. h.

 .

Dieser minimal erreichbare erwartete quadratische Abstand definiert die Varianz, d. h.

 .

Beispiele

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  • Für  , die Euklidische Metrik und eine klassische Zufallsgröße   erfüllen   und   das Fréchet-Prinzip, d. h., es gilt
 .
  • Etwas komplizierter ist es im Falle von zufälligen Mengen bzw. zufälligen Fuzzymengen. Dort wird als Metrik gern die Hausdorff-Metrik   benutzt, jedoch erweist sich der i. Allg. benutzte Aumann-Erwartungswert   nicht als Fréchet-Erwartungswert bzgl.  . Damit ist   nicht geeignet, um sinnvoll eine Varianz für zufällige (Fuzzy-)Mengen zu definieren. Zumindest für zufällige konvexe (Fuzzy-)Mengen ist   allerdings Fréchet-Erwartungswert bzgl. einer durch die Trägerfunktionen konvexer Mengen definierte Metrik. Damit erhält man dann auch auf natürliche Weise die Varianz einer zufälligen konvexen (Fuzzy-)Menge.[2]

Einzelnachweise

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  1. Fréchet, M. (1948). Les éléments aléatoires de natures quelconque dans un éspace distancié. Ann.Inst.Poincaré 10, 215-310
  2. Körner, R. (1997). On the variance of fuzzy random variables. Fuzzy Sets and Systems 92, 83-93