Differenzkokern

In einer Kategorie seien zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$  gegeben. Ein Differenzkokern von ${\displaystyle f}$  und ${\displaystyle g}$  ist ein Morphismus ${\displaystyle q\colon Y\rightarrow Z}$  mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle q\circ f=q\circ g}$ 
• Ist auch ${\displaystyle q'\colon Y\rightarrow Z'}$  ein Morphismus mit ${\displaystyle q'\circ f=q'\circ g}$ , so gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus ${\displaystyle c\colon Z\rightarrow Z'}$  mit ${\displaystyle q'=c\circ q}$ .^[1][2]

  ${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}X&{\underset {f}{\overset {g}{\rightrightarrows }}}&Y&{\xrightarrow {q}}&Z\\&&&\searrow ^{q'}&\downarrow ^{c}\\&&&&Z'\\\end{array}}}$ 

• In der Kategorie Set der Mengen oder der Kategorie Top der topologischen Räume seien ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$  wie in obiger Definition. Es sei weiter ${\displaystyle Q}$  die kleinste Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle Y}$ , die alle Paare ${\displaystyle (f(x),g(x)),\ x\in X}$  enthält. Dann ist die Identifizierungsabbildung ${\displaystyle q\rightarrow Y/Q}$  ein Differenzkokern von ${\displaystyle f}$  und ${\displaystyle g}$ .^[3]
• In der Kategorie ${\displaystyle R}$ -Mod der Linksmoduln über einem Ring ${\displaystyle R}$  sei in der Situation obiger Definition ${\displaystyle Q}$  der von allen Differenzen ${\displaystyle f(x)-g(x),\ x\in X}$  erzeugte Untermodul von ${\displaystyle Y}$ . Dann ist die Quotientenabbildung ${\displaystyle q\rightarrow Y/Q}$  ein Differenzkokern von ${\displaystyle f}$  und ${\displaystyle g}$ . Dies ist also nichts anderes als der Kokern der Differenz ${\displaystyle f-g}$ , was die Bezeichnung Differenzkokern erklärt.
• Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition ${\displaystyle g=0_{XY}}$  der Nullmorphismus ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ , so ist ein Differenzkokern von ${\displaystyle f}$  und ${\displaystyle 0_{XY}}$  nichts anderes als ein Kokern von ${\displaystyle f}$ . Damit ist jeder Kokern ein Beispiel für einen Differenzkokern.

• Differenzkokerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition ${\displaystyle q\colon Y\rightarrow Z}$  und ${\displaystyle {\tilde {q}}\colon Y\rightarrow {\tilde {Z}}}$  zwei Differenzkokerne von ${\displaystyle f}$  und ${\displaystyle g}$  so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus ${\displaystyle c\colon Z\rightarrow {\tilde {Z}}}$  mit ${\displaystyle {\tilde {q}}=c\circ q}$  gibt. Differenzkokerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkokern spricht.
• In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt ${\displaystyle Z}$  den Differenzkokern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Quotientenabbildung und bleibt daher unerwähnt.
• Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkokerne, wenn es zu je zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$  einen Differenzkokern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und ${\displaystyle R}$ -Mod haben offenbar Differenzkokerne.
• Die Differenzkokerne einer Kategorie sind genau der Differenzkerne der dualen Kategorie.
• Ein Morphismus ${\displaystyle q\colon Y\rightarrow Z}$  ist genau dann ein Differenzkokern von ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ , wenn das Diagramm

  ${\displaystyle {\begin{array}{ccc}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\downarrow ^{g}&&\downarrow ^{q}\\Y&{\xrightarrow {q}}&Z\\\end{array}}}$ 

ein Pushout ist.^[4]

• Jeder Differenzkokern ist ein Epimorphismus. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, diejenigen Epimorphismen, die als Differenzkokern auftreten, nennt man regulär.
• Differenzkokerne sind spezielle Kolimiten, nämlich die von Funktoren ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$  (auch ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ -förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$  aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

• Differenzkern

1. ↑ B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne
2. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2
3. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 16.3 (2)
4. ↑ H. Schubert: Kategorien II, Akademie-Verlag Berlin 1970, Satz 18.4.3