Differenz-Operator

Gegeben sei eine reellwertige Funktion mehrerer reeller Variablen

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ 

Dann ist der Differenzenoperator für ${\displaystyle a^{1}=(a_{1}^{1},\dots ,a_{n}^{1}),a^{2}=(a_{1}^{2},\dots ,a_{n}^{2})}$  definiert als

${\displaystyle \Delta _{a^{1}}^{a^{2}}F:=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}\in \{1,2\}}(-1)^{i_{1}+\dots +i_{n}}F(a_{1}^{i_{1}},\dots ,a_{n}^{i_{n}})}$ 

und die Differenzenbildung in der ${\displaystyle \nu }$ -ten Komponente als

${\displaystyle {}_{\nu }\Delta _{\alpha }^{\beta }F:=F(x_{1},\dots ,x_{\nu -1},\beta ,x_{\nu +1},\dots ,x_{n})-F(x_{1},\dots ,x_{\nu -1},\alpha ,x_{\nu +1},\dots ,x_{n})}$ .

In der Theorie der finiten Differenzen existieren auch die Differenzoperatoren^[1]

${\displaystyle \Delta f:=f(x+1)-f(x)}$ 

und

${\displaystyle \nabla f:=f(x)-f(x-1).}$ 

Geschrieben mit dem Shiftoperator ${\displaystyle \operatorname {s} _{a}f:=f(x+a)}$  als

${\displaystyle \Delta f=(\operatorname {s} _{+1}-\operatorname {id} )f,\qquad \nabla f=(\operatorname {id} -\operatorname {s} _{-1})f.}$ 

Allgemeiner definiert man die Vorwärts-Differenz

${\displaystyle \Delta _{h}f:=f(x+h)-f(x),}$ 

die Rückwärts-Differenz

${\displaystyle \nabla _{h}f:=f(x)-f(x-h),}$ 

und die zentrierte Differenz

${\displaystyle \delta _{h}f:=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}}).}$ 

Durch Austausch der einzelnen Komponenten wird von den beiden Vektoren ein Quader im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  mit ${\displaystyle 2^{n}}$  Ecken erzeugt. Die Funktionswerte an diesen Ecken werden dann noch in Abhängigkeit von Ursprungsvektor der Komponenten mit einem Vorzeichen versehen und dann addiert, beispielsweise für ${\displaystyle n=2}$ :

${\displaystyle \Delta _{a^{1}}^{a^{2}}F=F(a_{1}^{2},a_{2}^{2})-F(a_{1}^{1},a_{2}^{2})-F(a_{1}^{2},a_{2}^{1})+F(a_{1}^{1},a_{2}^{1})}$ .

Die Differenzbildung in der ${\displaystyle \nu }$ -ten Komponente ist zwar konstant im ${\displaystyle \nu }$ -ten Eintrag, wird aber meist immer noch als Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  aufgefasst, um das weitere Anwenden von Differenzoperatoren zu ermöglichen.

Der Differenzen-Operator ist linear, das heißt, es gilt

${\displaystyle \Delta _{a^{1}}^{a^{2}}(F+G)=\Delta _{a^{1}}^{a^{2}}F+\Delta _{a^{1}}^{a^{2}}G}$ 

Des Weiteren ist

${\displaystyle \Delta _{a^{1}}^{a^{2}}F=\sum _{i_{1}=1}^{2}(-1)^{i_{1}}\cdot \sum _{i_{2}=1}^{2}(-1)^{i_{2}}\cdot \dots \cdot \sum _{i_{n}=1}^{2}(-1)^{i_{n}}F(a_{1}^{i_{1}},\dots ,a_{n}^{i_{n}})={}_{1}\Delta _{a_{1}^{1}}^{a_{1}^{2}}\cdots {}_{n}\Delta _{a_{n}^{1}}^{a_{n}^{2}}F}$ 

Außerdem gilt für ${\displaystyle \mu \neq \nu }$ 

${\displaystyle {}_{\mu }\Delta _{\alpha }^{\beta }{}_{\nu }\Delta _{\alpha }^{\beta }F={}_{\nu }\Delta _{\alpha }^{\beta }{}_{\mu }\Delta _{\alpha }^{\beta }F}$ 

Die Differenzbildung der Komponenten ist also vertauschbar.

Mittels des Differenzoperators lässt sich beispielsweise die Monotonie einer Funktion verallgemeinern: Eine Funktion ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  heißt dann rechtecksmonoton, wenn

${\displaystyle a\leq b\implies \Delta _{a}^{b}F\geq 0}$ 

gilt. Dabei ist ${\displaystyle a\leq b}$  komponentenweise zu verstehen, also ${\displaystyle a\leq b\iff a_{i}\leq b_{i}}$  für alle Indizes. Darauf aufbauend lassen sich solche Funktionen dann weiter untersuchen.

Außerdem werden Differenzoperatoren in der Maßtheorie und der Stochastik zur Definition von Maßen auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  mittels multivariater Verteilungsfunktionen verwendet.

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 65–72, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. 

1. ↑ Antonio J. Durán: Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions. In: Cambridge University Press (Hrsg.): London Mathematical Society Lecture Note Series. 2020.