Beschränkte Variation

Die totale Variation einer reellwertigen Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ , die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, ist das Supremum

${\displaystyle \sup _{P}\sum _{i}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$ 

wobei dieses Supremum über alle möglichen Partitionen ${\displaystyle P=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid x_{1}<\dotsb <x_{n}\}}$  des Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$  gebildet wird. Das hier angegebene ${\displaystyle n}$  hängt von ${\displaystyle P}$  ab.

Genau die stetigen Funktionen von beschränkter Variation sind Riemann-Stieltjes-integrierbar. Deshalb kann ${\displaystyle BV[a,b]}$  mit einer Halbnorm ausgestattet werden:

${\displaystyle n(f)=\sup _{\varphi }\int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,\mathrm {d} x}$ .

Hierbei wird das Supremum über alle stetig differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle \mathrm {\varphi } }$  mit kompaktem Träger und Funktionswerten im Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$  gebildet.

Die Halbnorm stimmt mit dem Supremum, das die beschränkte Variation definiert, überein.

 

Ein einfaches Beispiel für eine Funktion mit unbeschränkter Variation ist ${\displaystyle \textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$  in der Nähe von ${\displaystyle x=0}$ . Es ist anschaulich einsichtig, dass der Wert des Quotienten ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$  für ${\displaystyle x\to 0}$  mit zunehmender Annäherung an 0 immer schneller gegen ∞ anwachsen wird und damit der Sinus dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird. Dies zeigt das Bild rechts.

Die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{falls }}x\neq 0\end{cases}}}$ 

ist ebenfalls nicht von beschränkter Schwankung im Intervall [0, 1], im Gegensatz zur Funktion:

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\text{falls }}x\neq 0\end{cases}}}$ .

Hier wird die Variation des Sinusterms, die für ${\displaystyle x\to 0}$  stark zunimmt, durch die zusätzliche Potenz genug gedämpft.

Diese Definition kann auch für komplexwertige Funktionen oder Funktionen mit Werten in einem metrischen Raum ${\displaystyle (Y,d)}$  verwendet werden (ersetze in letzterem Falle ${\displaystyle \vert f(x_{i+1})-f(x_{i})\vert }$  durch ${\displaystyle d(f(x_{i}),f(x_{i+1}))}$ ).

Funktionen von beschränkter Variation, oder ${\displaystyle BV}$ -Funktionen, sind Funktionen, deren distributionelle Ableitungen endliche vektorwertige Radonmaße sind. Genauer:

Sei ${\displaystyle \Omega }$  eine offene Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Eine Funktion ${\displaystyle u\in L^{1}(\Omega )}$  ist von beschränkter Variation oder Element von ${\displaystyle BV(\Omega )}$ , wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches, signiertes, vektorwertiges Radonmaß ist. D. h., es existiert ${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ , so dass

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\operatorname {div} {\varphi }(x)\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle \varphi ,Du(x)\rangle \qquad {\text{für alle }}{\varphi }\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ 

gilt.

Eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$  kann auch als Weg im metrischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} }$  aufgefasst werden. Es gilt, dass ${\displaystyle f}$  genau dann von beschränkter Variation ist, wenn ${\displaystyle f}$  ein rektifizierbarer Weg ist, also eine endliche Länge hat.

In der Maßtheorie sind die reell-/komplexwertigen Funktionen von beschränkter Variation genau die Verteilungsfunktionen von signierten/komplexen Borelmaßen auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49977-0. 
• Gerald Teschl: Topics in Real and Functional Analysis. 2011 (freie Onlineversion). 
• Luigi Ambrosio, Nicola Fusco, Diego Pallara: Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Oxford 2000. 

• Golubov, Function of bounded variation, Encyclopedia of Mathematics, Springer

1. ↑ Golubov, Variation of a function, Encyclopedia of Mathematics, Springer
2. ↑ Golubov, Function of boundes variation, Encyclopedia of Mathematics, Springer