Ampère-Maxwells lov

Ampère-Maxwells lov er en af de grundlæggende ligninger i klassisk elektromagnetisme.

Ampères lov beskrev oprindeligt, hvordan strøm giver anledning til et magnetfelt ${\displaystyle \mathbf {B} }$ - det fundamentale princip bag elektromagneter - men senere tilføjede James Clerk Maxwell, at et magnetfelt også kan dannes af et varierende elektrisk felt ${\displaystyle \mathbf {E} }$. Det er dette, der muliggør eksistensen af elektromagnetisk stråling.

Faradays induktionslov minder om Ampère-Maxwells lov og beskriver, hvordan ændringer i et magnetfelt giver anledning til et elektrisk felt.

Ampère-Maxwells fulde lov på integral-form lyder:

På venstresiden er magnetfeltet integreret over kurven ${\displaystyle C}$, der omkranser en flade ${\displaystyle S}$. På højresiden står der to termer. Den første er Ampères og er strømtætheden integreret over arealet af ${\displaystyle S}$. Jo flere ladninger, der bevæger sig igennem arealet, jo større vil magnetfeltet altså være. Den samlede strøm ${\displaystyle i}$ igennem arealet er blot:

${\displaystyle i=\int _{S}\mathbf {J} {\text{ d}}\mathbf {A} }$

${\displaystyle \mu _{0}}$ er en konstant kaldet vakuumpermeabiliteten. Den anden term er Maxwells senere tilføjelse og angiver, at det elektriske felt integreret over fladen - dvs. den elektriske flux - skaber et magnetisk felt, når det ændrer sig. ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ er en anden konstant kaldet vakuumpermettiviteten.

I Ampères simplere lov regnes det andet led for negligibelt. Ved at bruge strømmen i stedet for strømtætheden kan Ampères lov altså skrives som:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot {\text{d}}\mathbf {l} =\mu _{0}i}$

Hvis området ${\displaystyle S}$ er en cirkel med radius ${\displaystyle r}$, er omkredsen givet ved:

${\displaystyle O=2\pi r}$

hvilket er kurven ${\displaystyle C}$'s størrelse. Hvis strømmen er fordelt rotationssymmetrisk, må det magnetiske felt være lige stort alle steder på kurven og kan derfor tages uden for integralet. Integralet giver da bare omkredsen:

${\displaystyle BO=B2\pi r=\mu _{0}i}$

Magnetfeltets størrelse ${\displaystyle B}$ er altså givet ved:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}i}{2\pi r}}}$

Dette er magnetfeltet, der fx kan findes omkring en ubeskyttet ledning. Det falder i styrke med én over afstanden.

Alt afhængig af formålet kan det være fordelagtigt at formulere Ampère-Maxwells lov som differentialligning i stedet. Ved at anvende Stokes' sætning på venstresiden og Leibniz' integralregel^[1] på Maxwells tilføjelse kan loven skrives som:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{S}(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {A} &=\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot {\text{d}}\mathbf {A} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot {\text{d}}\mathbf {A} \\\int _{S}(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {A} &=\int _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot {\text{d}}\mathbf {A} \end{aligned}}}$

Hvis dette skal gælde for alle integrander, må integranderne også være lig med hinanden. Differentialformen bliver altså:

Denne form er fx nyttig til at vise, at lys er elektromagnetisk stråling. Det viser sig nemlig, at lysets hastighed er relateret til permeabilitet og primitivitet ved

${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}}$

hvor ${\displaystyle c}$ er lysets hastighed.^[2]

• Ampère's Law fra Crash Course