Segon axioma de numerabilitat
Aparença
Es diu que un espai topològic verifica el segon axioma de numerabilitat (o que és segon numerable o segon comptable) si la seva topologia té una base numerable. En forma abreujada, se sol dir que l'espai és IIAN o ANII.
Propietats
[modifica]- El ser ANII és una propietat global que limita el nombre d'oberts de la topologia. De fet, es demostra que si (XT) és ANII, llavors el cardinal de T és menor o igual que el cardinal del continu.
- Ser ANII és una propietat hereditària: tot subespai d'un espai ANII també ho és.
- El producte numerable d'espais ANII és al seu torn ANII.
- Tot espai ANII és un espai ANI.[1]
Exemples
[modifica]- L'espai euclidià ℝn amb la seva topologia usual és ANII. Tot i que la base formada per les boles obertes no és numerable, podem arribar a un que sí que ho és: la formada per les boles de radi racional i el centre tingui coordenades racionals.
- La tàctica anterior pot repetir-se en un espai mètric separable (és a dir que contingui un subconjunt dens numerable A). Com a base n'hi ha prou escollir de nou les boles de radi racional centrades en A.
- L'espai topològic discret, , és ANII si y només si és numerable.[1]
- L'espai de Sorgenfrey no és ANII, encara que sí és ANI.[2]
- La recta cofinita, , no és ANII ja que no és ANI.[2]
Vegeu també
[modifica]Referències
[modifica]- ↑ 1,0 1,1 Llopis, José L. «Axiomes de numerabilitat» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 2 setembre 2019].
- ↑ 2,0 2,1 Macho Stadler, Marta «Topologia general (primera part)» (en castellà). Universitat del País Basc [Consulta: 2 setembre 2019].