Llista de grups petits

Aquest article mostra una llista matemàtica dels grups finits d'ordre baix (una cardinalitat de fins a 16 elements) classificats per isomorfisme de grups.

Amb aquesta llista es pot determinar a quin grup conegut és isomorf un grup finit G donat: Cerqueu primer l'ordre de G, seguidament cerqueu els candidats per aquell ordre a la llista. Si sabeu si G és o no és abelià potser podreu descartar alguns candidats. Per a distingir entre els candidats restants podeu mirar l'ordre dels elements de G i comparar-los amb els ordres dels elements dels candidats.

El signe d'igualtat "=" denota isomorfisme de grups.

• C_n: el grup cíclic d'ordre n (es correspon amb el grup additiu de ℤ/nℤ, denotat de vegades ℤ_n).
• D_n: el grup dièdric d'ordre 2n (de vegades s'usa la notació D_2n o D_2,n)
• S_n: el grup simètric que conté les n! permutacions d'un conjunt de n elements.
• A_n: el grup alternat amb les n!/2 permutacions de S_n que tenen signe parell.
• Dic_n: el grup dicíclic d'ordre 4n.

La notació G × H indica el producte directe de dos grups; Gⁿ indica el producte directe d'un grup amb ell mateix n vegades. ${\displaystyle G\rtimes H}$ vol dir el producte semidirecte on H actua sobre G; si l'acció particular de H sobre G s'omet és que totes les accions no trivials possibles donen el mateix grup producte llevat d'isomorfisme.

S'indiquen els que són grups abelians i els que són grups simples. (Per als grups d'ordre n < 60, els grups simples són exactament els grups cíclics C_n, per a n primer).

L'element neutre està representat per un cercle negre als grafs dels cicles. L'ordre més petit per al qual el graf no representa unívocament un grup és ordre 16.

A les llistes de subgrups, el grup trivial i el mateix grup no apareixen indicats. Als casos on hi ha múltiples subgrups isomorfs, el nombre d'aparicions s'indica entre parèntesis.

Els grups abelians finits es classifiquen fàcilment: són grups cíclics o els seus productes directes. El teorema xinès del residu ens pot ajudar a trobar els isomorfismes amb aquests productes directes. Els grups abelians finitament generats també es poden classificar. Vegeu més informació a l'article grup abelià.

Ordre	Grup	Subgrups	Propietats	Graf dels cicles
1	grup trivial = C1 = S1 = A₂	-	trivialment té propietats diverses
2	C₂ = S₂ = D1	-	simple, el grup no trivial més petit
3	C₃ = A₃	-	simple
4	C₄	C₂
	Grup de Klein = C₂ × C₂ = D₂	C₂ (3)	el grup no cíclic més petit
5	C₅	-	simple
6	C₆ = C₃ × C₂	C₃, C₂
7	C₇	-	simple
8	C₈	C₄, C₂
	C₄ × C₂	C₂², C₄ (2), C₂ (3)
	C₂3	C₂² (7), C₂ (7)
9	C9	C₃
	C₃²	C₃ (4)
10	C10 = C₅ × C₂	C₅, C₂
11	C11	-	simple
12	C₁₂ = C₄ × C₃	C₆, C₄, C₃, C₂
	C₆ × C₂ = C₃ × C₂²	C₆ (3), C₃, C₂ (3), C₂²
13	C13	-	simple
14	C14 = C₇ × C₂	C₇, C₂
15	C15 = C₅ × C₃	C₅, C₃
16	C16	C₈, C₄, C₂
	C₂4	C₂ (15), C₂² (35), C₂3 (15)
	C₄ × C₂²	C₂ (7), C₄ (4), C₂² (7), C₂3, C₄ × C₂ (6)
	C₈ × C₂	C₂ (3), C₄ (2), C₂², C₈ (2), C₄ × C₂
	C₄²	C₂ (3), C₄ (6), C₂², C₄ × C₂ (3)

Ordre	Grup	Subgrups	Propietats	Graf dels cicles
6	S₃ = D₃	C₃, C₂ (3)	el grup no abelià més petit
8	D₄	C₄, C₂² (2), C₂ (5)
	Grup dels quaternions, Q₈ = Dic₂	C₄ (3), C₂	el grup hamiltonià més petit
10	D₅	C₅, C₂ (5)
12	D₆ = D₃ × C₂	C₆, D₃ (2), C₂² (3), C₃, C₂ (7)
	A₄	C₂², C₃ (4), C₂ (3)	el grup més petit que demostra que un grup no ha de tenir forçosament un subgrup de cada ordre que divideix l'ordre del grup: no té cap subgrup d'ordre 6 (en contra del recíproc al teorema de Lagrange, com ja indiquen els teoremes de Sylow.)
	Dic₃ = ${\displaystyle C_{3}\rtimes C_{4}}$	C₂, C₃, C₄ (3), C₆
14	D₇	C₇, C₂ (7)
16[1]	D₈	C₈, D₄ (2), C₂² (4), C₄, C₂ (9)
	D₄ × C₂	D₄ (2), C₄ × C₂, C₂3 (2), C₂² (11), C₄ (2), C₂ (11)
	Grup generalitzat dels quaternions Q16 = Dic₄
	Q₈ × C₂		grup hamiltonià
	El grup quasidièdric d'ordre 16
	El grup d'Iwasawa d'ordre 16
	${\displaystyle C_{4}\rtimes C_{4}}$
	El grup generat per les matrius de Pauli
	G4,4 = ${\displaystyle C_{2}^{2}\rtimes C_{4}}$

Els sistemes computacionals algebraics de teoria de grups GAP i Magma contenen la «Llibreria de grups petits» que proporciona accés a descripcions de grups d'ordre baix. Es llisten els grups llevat d'isomorfisme. Actualment^[Quan?] aquesta llibreria conté els grups següents:^[2]

• Tots els grups d'ordre com a molt 2000, excepte en l'ordre 1024. Són 423.164.062 grups. Els d'ordre 1024 no apareixen: només comptant els 2-grups d'ordre 1024 no isomorfs n'hi ha 49.487.365.422.
• Els d'un ordre lliure de cubs i com a molt 50.000. Són 395.703 grups.
• Els d'un ordre lliure de quadrats.
• Els d'ordre pⁿ per a n fins a 6 i p un nombre primer.
• Els d'ordre p⁷ per a p essent 3, 5, 7 o 11. Són 907.489 grups.
• Els d'ordre qⁿ⋅p on qⁿ divideix 2⁸, 3⁶, 5⁵ o 7⁴ i el nombre p és un primer arbitrari diferent de q.
• Aquells l'ordre dels quals factoritza en tres primer com a molt.

Conté descripcions explícites dels grups disponibles en format ordinador.

• Grup (matemàtiques)
• Introducció a la teoria de grups
• Teoria de grups
• Grup finit
• Grup abelià finit
• Grup simple
• Llista de grups finits simples

• Pedersen, John. «Groups of small order» (en anglès). Arxivat de l'original el 2006-12-05. [Consulta: 14 febrer 2010].
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès).
• Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. The Groups of Order 2ⁿ (n ≤ 6) (en anglès). Macmillan, 1964. «Un catàleg exhaustiu dels 340 grups amb ordre divisor de 64.»