Kompleksan broj

Kompleksni brojevi su oni brojevi koji proširuju skup realnih brojeva na način da jednačina ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ ima rješenje. Ono je moguće uvođenjem novog imaginarnog broja ${\displaystyle \mathrm {i} }$ koji ima osobinu ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$. Ovaj broj ${\displaystyle \mathrm {i} }$ označava se kao imaginarna jedinica. U elektrotehnici za njegovo označavanje koristi se slovo ${\displaystyle \mathrm {j} }$, kako bi se izbjegla zabuna sa oznakom za jačinu struje zavisne od vremena (koja se označava sa ${\displaystyle i}$ ili ${\displaystyle i(t)}$).

Pojam "kompleksnih brojeva" uveo je Carl Friedrich Gauß 1831. u djelu Theoria residuorum biquadraticorum. Međutim, temelje teorije kompleksnih brojeva postavio je italijanski matematičar Gerolamo Cardano u djelu Ars magna objavljenom u Nürnbergu 1545. te Rafael Bombelli u djelu L'Algebra objavljenom u Bologni 1572. a napisanom između 1557. i 1560.^[1] Uvođenje imaginarne jedinice ${\displaystyle \mathrm {i} }$ kao novog broja pripisuje se Leonhardu Euleru.

U skupu realnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jednačina ${\displaystyle x^{2}-1=0}$ ima dva rješenja

${\displaystyle x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1}$

Slična jednačina ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ u skupu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica ${\displaystyle i}$ definisana na sljedeći način ${\displaystyle i^{2}=-1}$ tj

${\displaystyle x^{2}+1=0\quad \Rightarrow \quad x=\pm i}$. Iz ove definicije slijedi

${\displaystyle \displaystyle i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=-i\cdot i=-(-1)=1,\quad i^{5}=i,\quad i^{6}=-1,\ldots }$.^[2]

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika

${\displaystyle x+yi\,}$

gdje su x i y realni brojevi, a i se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu i² = -1.

Realni broj ${\displaystyle x}$ se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$, a ${\displaystyle y}$ se naziva imaginarni dio i označava se sa ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$.

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj. ${\displaystyle x=x+0i}$.

Povremeno se moze naići na definiciju ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$. U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}=1}$. U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$imamo: ${\displaystyle i\cdot i=-1}$ što je i korektan rezultat.

Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi ${\displaystyle (x,y)}$ realnih brojeva.

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ .

S druge strane, zapis oblika ${\displaystyle z=x+yi}$ pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

${\displaystyle z=x+yi}$ i

${\displaystyle z=(x,y)}$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {C} }$ je skup svih brojeva oblika ${\displaystyle z=x+iy}$, gdje su ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$.

Posebno je ${\displaystyle 0=0+i0}$.

${\displaystyle x=\operatorname {Re} z}$ je realni dio kompleksnog broja ${\displaystyle z}$,

${\displaystyle y=\operatorname {Im} z}$ je imaginarni dio kompleksnog broja ${\displaystyle z}$.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

${\displaystyle z=x+iy}$ za ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }$

pri čemu je

${\displaystyle r=|z|}$ modul

${\displaystyle \theta =\operatorname {Arg} z}$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

${\displaystyle z=r^{i\theta }}$ za ${\displaystyle r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }$

pri čemu je

${\displaystyle r=|z|}$ modul

${\displaystyle \theta =\operatorname {Arg} z}$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

${\displaystyle z_{1}=z_{2}\quad \Leftrightarrow \quad (\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).}$

Konjugirano kompleksni broj broja ${\displaystyle z=x+iy}$ je broj ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja ${\displaystyle z}$ je nenegativni realni broj ${\displaystyle r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su ${\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}}$ i ${\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}}$ dva kompleksna broja.

${\displaystyle \displaystyle z_{1}+z_{2}\displaystyle =x_{1}+x_{2}+i(y_{1}+y_{2})}$^[2]

i oduzimanje

${\displaystyle \displaystyle z_{1}-z_{2}\displaystyle =x_{1}-x_{2}+i(y_{1}-y_{2})}$

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ komutativnost sabiranja

${\displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ asocijativnost sabiranja

${\displaystyle \exists 0\in \mathbb {C} z+0=z}$ za ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }$ neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj ${\displaystyle 0=(0,0)=0+0i}$

${\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0}$ postojanje inverznog elementa.

Kompleksni broj ${\displaystyle -z=(-x,-y)=-x-yi}$ ^[3]

Neka su ${\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}}$ i ${\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}}$ dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje ${\displaystyle \displaystyle z_{1}\cdot z_{2}\displaystyle =(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+iy_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+i^{2}y_{1}y_{2}\displaystyle =x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}$

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=z_{2}\cdot z_{1}}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ komutativnost množenja

${\textstyle z_{1}\cdot (z_{2}\cdot z_{3})=(z_{1}\cdot z_{2})\cdot z_{3}}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ asocijativnost množenja

${\displaystyle \exists 1\in \mathbb {C} z\cdot 1=z}$ za ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }$ neutralni element ${\displaystyle 1}$ za množenje

${\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} )z\cdot (-z)=1}$ postojanje reciproćnog elemanta

${\displaystyle z_{1}\cdot (z_{2}+z_{3})=z_{1}\cdot z_{2}+z_{1}\cdot z_{3}}$ za ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje ^[3]

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$, u oznaci ${\displaystyle a\circ b}$,je realan broj određen kao

${\displaystyle a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})}$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a=|a|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ i${\displaystyle b=|b|(\cos \psi +i\sin \psi )}$ Lako je provjeriti da je

${\displaystyle a\circ b=|a||b|(\cos \varphi +i\sin \psi )=|OA||AB|\cos {\widehat {AOB}}}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

1. ${\displaystyle a\circ a=|a|^{2}}$
2. ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$
3. ${\displaystyle {\overline {a\circ b}}=a\circ b}$
4. ${\displaystyle (\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)}$
5. ${\displaystyle (az)(bz)=|z|^{2}(a\circ b)}$
6. ${\displaystyle a\circ b=0\quad \Leftrightarrow \quad OA\perp OB}$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$)

Realan proizvod kompleksnih brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ jednak je potenciji koordinantnog početka ${\displaystyle O}$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik ${\displaystyle AB}$, gdje su ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$.

Tačka ${\displaystyle M}$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem ${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$, potencija tačke ${\displaystyle O}$ u odnosu na krug sa središtem u tački ${\displaystyle M}$ i poluprečnikom

${\displaystyle r={\frac {a-b}{2}}={\frac {|a-b|}{2}}}$ jednaka je

${\displaystyle OM^{2}-r^{2}=\left|{\frac {a+b}{2}}\right|-\left|{\frac {a-b}{2}}\right|={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}})}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b}$

Neka su tačke ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

1. ${\displaystyle AB\perp CD}$
2. ${\displaystyle (a+b)\circ (c+d)=0}$
3. ${\displaystyle {\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}$
4. ${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\frac {b-a}{d-c}}\right)=0}$

Središte kružnice opisane oko trougla ${\displaystyle ABC}$ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ trougla ${\displaystyle ABC}$ određena kompleksnim brojevima ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ respektivno, tada je ortocentar ${\displaystyle H}$ tog trougla određen kompleksnim brojem ${\displaystyle h=a+b+c}$.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

${\displaystyle a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$.

Neka su ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ tačke određene kompleksnim brojevima ${\displaystyle a=|a|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ i ${\displaystyle a=|b|(\cos \psi +i\sin \psi )}$ Lako je provjeriti da je

${\displaystyle |a\times b|=|a||b|\sin(\varphi -\psi )=|OA||AB|\sin {\widehat {AOB}}=2P_{AOB}}$

Neka su ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

1. ${\displaystyle {\overline {a\times b}}=-a\times b}$
2. ${\displaystyle a\times b=0\quad \Leftrightarrow \quad a=0\lor b=0\lor a=\lambda b}$ gdje je ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}$
3. ${\displaystyle a\times b=-b\times a}$
4. ${\displaystyle \alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)}$ ( ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} }$ )

Ako su ${\displaystyle A(a)}$ i ${\displaystyle B(b)}$ dvije različite tačke različite od ${\displaystyle O(0)}$, tada je ${\displaystyle a\times b=0}$ onda i samo onda ako su ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$ kolinearne tačke.

Neka su ${\displaystyle A(a}$) i ${\displaystyle B(b}$) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ ima sljedeći geometrijski smisao

${\displaystyle a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}{\text{ za trougao }}AOB{\text{ pozitivno orijentisan}}\\-2iP_{AOB}{\text{ za trougao }}AOB{\text{ negativno orijentisan}}\end{cases}}}$ Neka su ${\displaystyle A(a)}$, ${\displaystyle B(b)}$ i ${\displaystyle C(c)}$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

${\displaystyle P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a){\text{ ako je }}ABC{\text{ pozitivno orjentisan}}\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a){\text{ ako je }}ABC{\text{ negativno orjentisan}}\end{cases}}}$

Neka su ${\displaystyle A(a)}$, ${\displaystyle B(b)}$ i ${\displaystyle C(c)}$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

1. Tačke ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$ su kolinearne
2. ${\displaystyle (b-a)\times (c-a)=0}$
3. ${\displaystyle a\times b+b\times c+c\times a=0}$

Neka su ${\displaystyle A(a)}$, ${\displaystyle B(b)}$, ${\displaystyle C(c)}$ i ${\displaystyle D(d)}$ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je ${\displaystyle AB\parallel CD}$ onda i samo onda ako je ${\displaystyle (b-a)\times (d-c)=0}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\text{za}}\quad z_{2}\neq 0}$

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C} }$

Neka je ${\displaystyle z=x+yi\neq 0}$ bilo koji. Onda je ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\neq 0}$ pa je dobro definisan broj

${\displaystyle z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$

imamo

${\displaystyle z'\cdot z=z\cdot z'=1}$

${\displaystyle z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}}$

Kompleksan broj ${\displaystyle {\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }}$ nazivamo konjugovanim broju ${\displaystyle z=x+yi=r^{i\theta }}$.^[4]

Brojevi ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle {\overline {z}}}$ čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

${\displaystyle \operatorname {Re} z={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})}$

${\displaystyle \operatorname {Im} z={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})}$

Lako se provjerava da vrijedi

1. ${\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}}$
3. ${\displaystyle {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}}$
4. ${\displaystyle {\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}}$ ^[3]

Neka je ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\operatorname {cis} \theta }$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

${\displaystyle z^{2}=z\cdot z}$

${\displaystyle z^{2}=r\operatorname {cis} \theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{2}\operatorname {cis} (\theta +\theta )=r^{2}\operatorname {cis} 2\theta }$

${\displaystyle z^{3}=r^{2}\operatorname {cis} 2\theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{3}\operatorname {cis} (2\theta +\theta )=r^{3}\operatorname {cis} 3\theta }$

${\displaystyle z^{4}=r^{3}\operatorname {cis} 3\theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{4}\operatorname {cis} (3\theta +\theta )=r^{4}\operatorname {cis} 4\theta }$^[4]

Na ovaj način dobijamo opći oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

${\displaystyle z^{n}=r^{n}\operatorname {cis} n\theta }$ ili

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta (n\in Z)}$^[4]

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )=r^{n}e^{in\theta }}$ za ${\displaystyle n\in N}$.

${\displaystyle z^{m}z^{n}=z^{m+n}}$

${\displaystyle (z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}}$

${\displaystyle (z^{m})^{n}=z^{mn}}$

${\displaystyle i^{4k}=1}$

${\displaystyle i^{4k+1}=i}$

${\displaystyle i^{4k+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4k+3}=-i}$^[5]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}}$ za ${\displaystyle n\in N}$

gdje je

${\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(\cos {\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+i\sin {\frac {\theta +2k\pi }{n}})}$ za ${\displaystyle k=0,1,\dots ,(n-1)}$

${\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}}$ za ${\displaystyle k=0,1,\dots ,(n-1)}$

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

${\displaystyle i=(a+bi)^{2}\!}$

${\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!}$

Dobijamo dvije jednačine

${\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}}$

čija su rješenja

${\displaystyle a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Izbor glavnog korjena daje

${\displaystyle a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

${\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}}$

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja ${\displaystyle z=x+yi}$ je

${\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,}$

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

${\displaystyle \textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,}$ ^[3]

${\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate }}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}$

Iz trigonometrijskih identiteta

${\displaystyle \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)}$

${\displaystyle \cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)}$

imamo

${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,}$

Primjer

${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.\,}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

Dijeljenje

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}$

Ponekad je kompleksne brojeve potrebno pisati u trigonometrijskom obliku

${\displaystyle a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}}$, za ${\displaystyle a>0}$ i ${\displaystyle \phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}}$ za ${\displaystyle a<0}$; kada je ${\displaystyle a=0}$ onda je ${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$, ako je ${\displaystyle b>0}$ i ${\displaystyle \phi =-{\frac {\pi }{2}}}$, ako je ${\displaystyle b<0}$

Broj ${\displaystyle \rho }$ se naziva modul kompleksnog broja , a ${\displaystyle \phi }$ је argument kompleksnog broja

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}$ i ${\displaystyle z_{2}=r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}$

onda je ^[6]

Sada, kada smo odredili brojeve, mogu se pomnožiti: ${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})=}$

${\displaystyle r_{1}r_{2}(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+i\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}+i\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}+i^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2})=}$

${\displaystyle r_{1}r_{2}((\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2})+i(\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1})=}$

${\displaystyle r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}$ i ${\displaystyle z_{2}=r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}$

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}}\cdot {\frac {r_{1}(\cos \varphi _{2}-i\sin \varphi _{2})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}-i\sin \varphi _{2})}}}$ ^[6]

u općem slučaju važi ${\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot {\frac {\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-i\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}+i\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}-i^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}{\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\operatorname {cis} (\varphi _{1}-\varphi _{2}))}$

Neka je ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r\operatorname {cis} \theta }$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

${\displaystyle z^{2}=z\cdot z}$

${\displaystyle z^{2}=r\operatorname {cis} \theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{2}\operatorname {cis} (\theta +\theta )=r^{2}\operatorname {cis} 2\theta }$

${\displaystyle z^{3}=r^{2}\operatorname {cis} 2\theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{3}\operatorname {cis} (2\theta +\theta )=r^{3}\operatorname {cis} 3\theta }$

${\displaystyle z^{4}=r^{3}\operatorname {cis} 3\theta \cdot r\operatorname {cis} \theta =r^{4}\operatorname {cis} (3\theta +\theta )=r^{4}\operatorname {cis} 4\theta }$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

${\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}$ ^[7]

• Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

1. Kompleksni brojevi
2. Kompleksni brojevi
3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
4. Skup kompleksnih brojeva Arhivirano 7. 4. 2017. na Wayback Machine
5. Moavrova formula i n-ti koren kompleksnog broja, 21. februar 2014
6. Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, 19. februar 2014.
7. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja, 17. februar 2014.

1. A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers