Principiu d'Arquímedes

Principiu d'Arquímedes
llei física

El principiu d'Arquímedes ye un principiu físicu qu'afirma: «Un cuerpu total o parcialmente somorguiáu nun fluyíu en reposu, esperimenta un emburrie vertical y escontra riba igual al pesu de la masa del volume del fluyíu que desalluga». Esta fuercia^{[nota 1]} recibe'l nome de emburrie hidrostáticu o d'Arquímedes, y mídese en newtons (nel SI). El principiu d'Arquímedes formúlase asina:

${\displaystyle Y=Pe\;V=\rho _{\text{f}}\;g\;V\;}$

o bien cuando se desea determinar pa comparalo contra'l pesu del oxetu:

${\displaystyle \mathbf {Y} =-Pe\;\mathbf {V} =-\rho _{\text{f}}\;\mathbf {g} \;V\;}$

onde Y ye l'emburrie [N], Pe ye'l pesu específicu del fluyíu [N/m^3],^[1] ρ_f ye la densidá del fluyíu, V el volume de fluyíu movíu» por dalgún cuerpu somorguiáu parcial o totalmente nel mesmu, g l'aceleración de la gravedá y m la masa. D'esta miente, l'emburrie depende de la densidá del fluyíu, del volume del cuerpu y de la gravedá esistente nesi llugar. L'emburrie (en condiciones normales^{[nota 2]} y descritu de manera simplificada^{[nota 3]}) actúa verticalmente escontra riba y ta aplicáu nel centru de gravedá del cuerpu; esti puntu recibe'l nome de centru de carena.

Arquímedes creció nun ambiente onde la ciencia yera familiar, yá que'l so padre, Fidias, yera astrónomu. Arquímedes reveló tempranamente particular disposición pa los estudios. Viaxó pola península ibérica y estudió n'Alexandría. Ellí trabó amistá col famosu Eratóstenes de Cirene, con quien efeutuó la midida de la circunferencia terrestre. Probablemente por cuenta de los estudios realizaos con Eratóstenes, más que por tradición familiar, en Arquímedes nació l'afición pola astronomía. Vueltu a Siracusa, dedicar a los sos estudios de matemática, física, xeometría, mecánica, óptica y astronomía. En toes estes materies realizó investigaciones qu'entá güei resulten difíciles pa una persona de bona preparación.

L'anéudota más conocida sobre Arquímedes, matemáticu griegu, cunta cómo inventó un métodu pa determinar el volume d'un oxetu con una forma irregular. Acordies con Vitruvio, arquiteutu de l'antigua Roma, una nueva corona con forma de corona triunfal fuera fabricada para Hierón II, tiranu gobernador de Siracusa, que pidió-y a Arquímedes determinar si la corona taba fecha d'oru puru o si un orfebre deshonesto amestára-y plata.^[2] Arquímedes tenía que resolver el problema ensin estropiar la corona, asina que nun podía fundila y convertila nun cuerpu regular pa calcular el so densidá.

Mientres tomaba un bañu, notó que'l nivel d'agua xubía na tina cuando entraba, y asina se dio cuenta de qu'esi efeutu podría usase pa determinar el volume de la corona. Por cuenta de que la compresión de l'agua sería despreciable,^[3] la corona, al ser somorguiada, movería una cantidá d'agua igual al so propiu volume. Al estremar la masa de la corona pol volume d'agua movida, podría llograse la densidá de la corona. La densidá de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos trupos fuéren-y añadíos. Entós, Arquímedes salió corriendo desnudu peles cais, tan emocionáu taba pol so descubrimientu pa recordar vistise, glayando «¡Eureka!» (en griegu antiguu: «εὕρηκα» que significa «¡Lo atopé!»)^[4]

Yá que la hestoria tresmitiérase de forma oral, mientres la renacencia foi cuestionada pola imprecisión de midir el volume y l'emburrie por separáu y estremalos, y tamién pol fechu de que la descripción anterior nun utiliza pa nada el Principiu d'Arquimedes. Galileo En 1586, con solu 22 años, publicó l'artículu La Bilancetta, nel que describía una forma de comparar densidaes con una balanza somorguiada y proponía que podría ser el dispositivu orixinal del propiu Arquímedes.^[5]

La hestoria de la corona dorada nun apaez nos trabayos conocíos d'Arquímedes, pero nel so tratáu Sobre los cuerpos flotantes él da'l principiu de hidrostática conocíu como'l principiu d'Arquímedes. Este plantega que tou cuerpu somorguiáu nun fluyíu esperimenta un emburrie vertical y escontra riba igual al pesu del volume de fluyíu desallugáu; esto ye, daos dos cuerpos que se somorguien nel senu d'un fluyíu (ej:agua), el más trupu o'l que tenga compuestos más pesaos somórguiase más rápidu, esto ye, tarda menos tiempu pa llegar a una posición d'equilibriu. Esto asocede pol gradiente de presión qu'apaez nel senu del fluyíu, que ye direutamente proporcional a la fondura d'inmersión y al pesu del propiu fluyíu.^[6]

El principiu d'Arquímedes puede deducise matemáticamente de les ecuaciones de Euler pa un fluyíu en reposu que de la mesma pueden deducise xeneralizando les lleis de Newton a un mediu continuu. De la mesma manera'l principiu d'Arquímedes puede deducise de les ecuaciones de Navier-Stokes pa un fluyíu:

(1)${\displaystyle \rho _{f}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\right]=\mu \Delta \mathbf {v} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\rho _{f}\mathbf {g} }$

La condición de que'l fluyíu incompresible que tea en reposu implica tomar na ecuación anterior ${\displaystyle \mathbf {v} =0}$, lo que dexa llegar a la rellación fundamental ente presión del fluyíu, densidá del fluyíu y aceleración de la gravedá:

(2)${\displaystyle 0=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\rho _{f}\mathbf {g} }$

A partir d'esa rellación podemos reescribir fácilmente les fuercies sobre un cuerpu somorguiáu en términos del pesu del fluyíu desallugáu pol cuerpu. Cuando se somorguia un sólidu K nun fluyíu, en cada puntu de la so superficie apaez una fuercia por unidá de superficie ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} }$ perpendicular a la superficie nesi puntu y proporcional a la presión del fluyíu p nesi puntu. Si llamamos ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$ al vector normal a la superficie del cuerpu podemos escribir la resultante de les fuercies ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} =-p\mathbf {n} }$ cenciellamente por aciu el teorema de Stokes de la diverxencia:

(3)${\displaystyle {\begin{cases}F_{x}=\int _{S_{K}}f_{x}dS=\int _{S_{K}}-pn_{x}dS\\F_{y}=\int _{S_{K}}f_{y}dS=\int _{S_{K}}-pn_{y}dS\\F_{z}=\int _{S_{K}}f_{z}dS=\int _{S_{K}}-pn_{z}dS\end{cases}}\quad \Rightarrow {\begin{cases}F_{x}=\int _{V_{K}}{\cfrac {\partial (-pn_{x})}{\partial x}}dV\\F_{y}=\int _{V_{K}}{\cfrac {\partial (-pn_{y})}{\partial y}}dV\\F_{z}=\int _{V_{K}}{\cfrac {\partial (-pn_{z})}{\partial z}}dV\end{cases}}}$


${\displaystyle \Rightarrow \qquad \mathbf {F} =\int _{\partial V_{K}}-p\mathbf {n} \cdot d\mathbf {S} =\int _{V_{K}}-{\boldsymbol {\nabla }}p\ dV=\int _{V_{K}}-\rho _{f}\mathbf {g} \ dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \ V_{K}}$

onde la última igualdá dase solu si'l fluyíu ye incompresible.

Supongamos un cuerpu de volume ${\displaystyle V}$ somorguiáu nun fluyíu de densidá ${\displaystyle \rho }$, agora podemos escoyer pequeños elementos d'área ${\displaystyle da}$, tales que tiendan a ser un puntu de la superficie del cuerpu.

Sobre cada puntu (elementu d'área) actúa una presión de valor ${\displaystyle p_{i}=p_{0}+\rho gh_{i}}$ y una fuercia ${\displaystyle F_{i}}$ acomuñada a ella, tal que ${\displaystyle F_{i}=p_{i}dA=p_{0}dA+\rho gh_{i}dA}$

Toles fuercies que tán bordiando'l cuerpu por cuenta de la presión a un mesmu nivel ${\displaystyle h_{i}}$ anúlense. quedando namái fuercies en direición escontra baxo y escontra riba.

Agora si tomamos dos puntos de la superficie del cuerpu que tean coneutaos al traviés d'una vertical tenemos una respeutiva fuercia escontra baxo ${\displaystyle F_{embaxo_{i}}}$ y otra escontra riba ${\displaystyle F_{enriba_{i}}}$ y per ende una respeutiva resultante ${\displaystyle F_{n_{i}}=F_{enriba_{i}}-F_{embaxo_{i}}}$

${\displaystyle F_{n_{i}}=p_{0}da+\rho gh_{i2}da-p_{0}da-\rho gh_{i1}da=\rho g(h_{i2}-h_{i1})da}$

Onde la parte ${\displaystyle (h_{i2}-h_{i1})da}$ ye un pequeñu elementu de volume del cuerpu, ${\displaystyle dV_{i}}$.

Poro, ${\displaystyle F_{n_{i}}}$ puede reescribise como:

${\displaystyle F_{n_{i}}=\rho gdV_{i}}$

Agora, l'emburrie ${\displaystyle Y}$ vien ser la fuercia neto ${\displaystyle F_{n}=\sum F_{n_{i}}}$

${\displaystyle Y=F_{n}=\sum \rho gdV_{i}=\rho g\sum dV_{i}}$

Onde la suma de tolos pequeños elementos de volume del cuerpu, ${\displaystyle \sum dV_{i}}$, resulta ser el volume total del cuerpu somorguiáu, esto ye, ${\displaystyle \sum dV_{i}=V}$

Polo tanto llegar a:

${\displaystyle Y=\rho gV}$

Esto ye, l'emburrie ye proporcional al volume del líquidu movíu pol cuerpu, ye dicir proporcional al volume del cuerpu somorguiáu.

Sabiendo que ${\displaystyle m_{l{\acute {i}}quido\,mov{\acute {i}}u}=\rho V}$, reemplazando llógrase:

${\displaystyle Y=m_{l{\acute {i}}quido\,mov{\acute {i}}u}g}$

Esto ye, l'emburrie ye igual al pesu del líquidu movíu.

Con esto queda demostráu'l principiu d'Arquímedes.

Pa un prisma rectu de base A_b y altor H, somorguiáu en posición totalmente vertical, la demostración anterior ye realmente elemental. Pola configuración del prisma dientro del fluyíu les presiones sobre l'área llateral solo producen emburries horizontales qu'amás s'anulen ente sigo y nun contribúin a sofitalo. Pa les cares cimera ya inferior, yá que tolos sos puntos tán somorguiaos a la mesma fondura, la presión ye constante y podemos usar la rellación Fuercia = presión x Área, y teniendo en cuenta la resultante sobre la cara cimera ya inferior, tenemos:

(4)${\displaystyle Y=p_{inf}A_{b}-p_{sup}A_{b}\;}$

onde ${\displaystyle p_{inf}}$ ye la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpu, ${\displaystyle p_{sup}}$ ye la presión aplicada sobre la cara cimera y A ye l'área proyeutada del cuerpu. Teniendo en cuenta la ecuación xeneral de la hidrostática, qu'establez que la presión nun fluyíu en reposu aumenta proporcionalmente cola fondura:

(5)${\displaystyle p(z)=\rho _{f}gz\rightarrow Y=p_{inf}A-p_{sup}A=\rho _{f}g(z_{inf}-z_{sup})A=\rho g(HAI)}$

Introduciendo nel últimu términu'l volume del cuerpu y multiplicando pola densidá del fluyíu ρ_f vemos que la fuercia vertical ascendente F_V ye precisamente'l pesu del fluyíu desallugáu.

(6)${\displaystyle Y=\rho _{f}gV_{des}\;}$

L'emburrie o fuercia qu'exerz el líquidu sobre un cuerpu, en forma vertical y ascendente, cuando esti tópase somorguiáu, resulta ser tamién la diferencia ente'l pesu que tien el cuerpu suspendíu nel aire y el "pesu" que tien el mesmu cuando lo introduz nun líquidu. A esti postreru conocer como pesu "aparente" del cuerpu, pos el so pesu nel líquidu mengua "aparentemente"; la fuercia qu'exerz la Tierra sobre'l cuerpu permanez constante, pero'l cuerpu, de la mesma, recibe una fuercia escontra riba que mengua la resultante vertical.

(7)${\displaystyle Y=P_{CA}-P_{CL}\;}$

onde ${\displaystyle P_{CA}}$ ye'l pesu del cuerpu nel aire y ${\displaystyle P_{CL}}$ ye'l pesu del cuerpu somorguiáu nel líquidu.

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). leición de Física (4 volumes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, Méxicu. ISBN 970-24-0257-3.
• Tipler, Paul A. (2000). Física pa la ciencia y la teunoloxía (2 volumes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.

• Hidrostática
• Arquímedes