类球面

 

用另外一种方法来描述，类球面是一种椭球面。采用直角坐标${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$ ，椭球面可以表达为

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$ ；

其中，${\displaystyle a\,\!}$ 与${\displaystyle b\,\!}$ 分别是椭球面在x-轴与y-轴的赤道半径，${\displaystyle c\,\!}$ 是椭球面在z-轴的极半径，这三个正值实数的半径决定了椭球面的形状。 以z-轴为旋转轴的类球面${\displaystyle a=b\,}$ ，它的方程为：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ 。

• 假若，三个半径都相等，则这椭球面是圆球面：

${\displaystyle a=c\,\!}$ 。

• 假若，类球面的赤道半径小于极半径，则这是类球面是长球面：

${\displaystyle a<c\,\!}$ 。

• 假若，类球面的赤道半径大于极半径，则这是类球面是扁球面：

${\displaystyle a>c\,\!}$ 。

扁球面c < a，它的表面积为：

${\displaystyle S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}{\text{artanh}}\,e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\quad }$ 其中${\displaystyle \,e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$ 。

扁球面是半长轴为a而半短轴为c的椭圆围绕z-轴旋转而形成的，因此e可看作为离心率^[1]。

长球面c > a，它的表面积为：

${\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad }$ 其中${\displaystyle \,e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}}$ 。

长球面是半长轴为c而半短轴为a的椭圆围绕z-轴旋转而形成的，因此e可看作离心率^[2]。

类球的体积是${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi a^{2}c\,\!}$ 。

假若，一个类球面被参数化为

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\ \lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,\ a\cos \beta \sin \lambda ,\ b\sin \beta )\,\!}$  ;

其中，${\displaystyle \beta \,\!}$ 是参数纬度（parametric latitude），${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\beta <{\frac {\pi }{2}}\,\!}$ ，${\displaystyle \lambda \,\!}$ 是经度，${\displaystyle -\pi <\lambda <+\pi \,\!}$ 。

那么，类球面的高斯曲率（Gaussian curvature）是

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={b^{2} \over (a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{2}}\,\!}$ 。

类球面的平均曲率（mean curvature）是

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={b(2a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta ) \over 2a(a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{3/2}}\,\!}$ 。

对于类球面，这两种曲率永远是正值的。所以，类球面的每一点都是椭圆的。

• 皮埃尔·莫佩尔蒂
• 椭球体
• 卵形体（ovoid）
• 长球面坐标系
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