紧空间

术语“紧致”是莫里斯·弗雷歇在1906年介入的。

很久以来就认识到了像紧致性这样的性质对于证明很多有用的定理是必需的。“紧致”最初是指“序列紧致”（所有序列都有收敛子序列）。这是在主要研究对象为度量空间时的使用的定义。而通过考虑开覆盖给出的“覆盖紧致”的定义更加有用，因为它能将紧致的概念推广至更一般的拓扑空间，并且很多结论与在度量空间的已有结果相吻合，特别地，度量空间中“序列紧致”与“覆盖紧致”等价。这种推广在研究函数空间的时候特别有用，而它们很多都不是度量空间。

研究紧致空间的主要原因之一是因为它们以某种方式类似于有限集合：有很多结果易于对有限集合证明，其证明可以通过极小的变动就转移到紧致空间上。常说“紧致性是在有限性之后最好的事情”。例如：

• 假设X是豪斯多夫空间，我们有一个X中的点x和不包含x的X的有限子集A。则我们可以通过邻域来分离x和A:对于每个A中的a，设U(x)和 V(a)分别是包含x和a的不相交的邻域系统。则所有U(x)的交集和所有V(a)的并集就是要求的x和A的邻域。

注意如果A是无限的，则证明失败，因为任意多个x的邻域的交集可能不是x的邻域。但这个证明是可以挽救的，如果A是紧致的：我们可以简单的选取A的覆盖{V(a)}的有限子覆盖。在这种方式下，我们看到在豪斯多夫空间中，任何点都可以通过不包含它的任何紧致集合的邻域来分离。事实上，重复这个论证证明了在豪斯多夫空间中任何两个不相交紧致集合可以通过领域来分离 -- 注意这正好就是我们在豪斯多夫分离公理中把“点”（就是单元素集合）替代为“紧致集合”所得到的。涉及紧致空间的很多论证和结果都服从这个模式。

在度量空间中，所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言，无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)），但R中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧致集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧致集上的连续实值函数是一致连续的。

对于欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集，下列四个有关紧致性的条件是等价的：

• 所有开覆盖都有有限子覆盖。这是最常用的定义。
• 所有在这个集合中的序列都有收敛子序列，且它的极限点属于这个集合。
• 这个集合的所有无限子集有在这个集合中的聚集点。
• 这个集合是闭合与有界的。这是最容易验证的定义，例如闭区间或闭n维球。

在其他空间中，这些条件等价与否依赖于该空间的性质。

注意尽管紧致性是集合自身（和它的拓扑）的性质，闭合性是相对于它所在的空间的；上述“闭合”的定义为在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中闭合。而在${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ 中闭合的集合不在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中闭合，因此一般不是紧致的。

上段中的“有限子覆盖”性质要比“闭集与有界”更加抽象，但是它在用于 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集的子空间拓扑时有明显的好处，省去了使用度量或周围（ambient）空间的需要。因此紧致性是个拓扑性质。闭区间[0,1]在某种意义上是本质上紧致性的，不论它是如何嵌入${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的。

拓扑空间${\displaystyle X}$ 紧致的条件是它的所有开覆盖都有至少一个有限的子覆盖。也就是说：

如果对于任意一个由${\displaystyle X}$ 的开子集构成的集合族${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ，使得

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in {\mathcal {C}}}x}$ 

总存在一个${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的有限子集${\displaystyle F}$ ，使得

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in F}x}$ 

则${\displaystyle X}$ 紧致。

其他紧致的等价定义利用了有限交集性质，如果拓朴空间 X 满足下面这条件则 X 为紧致空间：如果 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  为 X 中任意一个闭子集的集族 且满足有限交集性质，则集族 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  中所有元素的交集为非空集合。^[3]。这个定义对偶于使用开集的定义。

某些作者要求紧致空间还是豪斯多夫的，并把非豪斯多夫的紧致性叫做预紧致。

在度量空间内，紧致集可以定义为满足以下任一条件的集合：

• 任意序列有收敛子序列且该子序列的极限点属于该集合（自列紧致集）。
• 如果它的所有开覆盖都有至少一个有限的子覆盖。
• 完备且完全有界。

紧致集具有以下性质：

• 紧致集必然是有界的闭集，但反之不一定成立。
• 紧致集在连续函数下的像仍是紧致集。
• 豪斯多夫空间的紧子集是闭集。
• 实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。
• 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 内，一个集合是紧致集当且仅当它是闭集并且有界。（海涅-博雷尔定理）
• 定义在紧致集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。（极值定理）
• 定义在紧致集上的连续实值函数一致连续。

• 列紧致集：每个序列都有收敛的子序列。
• 可数紧致集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。
• 伪紧：所有的实值连续函数都是有界的。
• 弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点。

在度量空间中，以上概念均等价于紧致集。

以下概念通常弱于紧致集：

• 相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的，则称Y是相对紧致于X。
• 预紧致集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列，则称Y是X中的预紧致集。
• 局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基，则称这个空间是局部紧致空间。

• H.L. Royden Real Analysis（1988）Pearson Education, Inc. Delhi, India, ISBN 978-81-297-0105-3
• 张恭庆，林源渠，《泛函分析讲义》（1987）北京大学出版社，ISBN 978-7-301-00489-0
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology（1978）Springer-Verlag, New York
• Countably compact. PlanetMath. 

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