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并集

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A和B的并集

集合论数学的其他分支中,一群集合并集(Union)[1],是以这群集合的所有元素来构成的集合。

有限并集

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并集是由公理化集合论分类公理来确保其唯一存在的特定集合

也就是直观上:

“对所有 等价于

举例:

集合的并集是。数不属于素数集合偶数集合的并集,因为既不是素数,也不是偶数。

更通常的,多个集合的并集可以这样定义: 例如,的并集含有所有的元素,所有的元素和所有的元素,而没有其他元素。形式上:

的元素,当且仅当属于属于属于

代数性质

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二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即

。事实上,也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的,并集运算满足交换律,即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即,对任意集合。可以将空集当作个集合的并集。

结合交集补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环

无限并集

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公理化集合论并集公理,有唯一的集合 满足:

也就是直观上“对所有 和所有 等价于有某个 的下属集合 ,使得”。以上的 可以直观的视为一个集合族,而把 看成对 内的集合取并集,但这个公理并没有对 下属集合的数量做出任何限制,所以这个 被俗称为任意并集无限并集

,会称 覆盖(cover),也就是直观上可以用 里的所有集合叠起来盖住

例如:

,若 空集 也是空集。

无限并集有多种表示方法:

可模仿求和符号记为

但大多数人会假设指标集 的存在,换句话说

指标集 自然数系 的情况下,更可以仿无穷级数来表示,也就是说:

也可以更粗略直观的将 写作

无限并集的性质

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定理(0) — 

证明
(1) (空集公理)

(2) (MP with A4, 1)

(3)(M0 with 2)

(4)(Equv with DN, 3)

(5)(Equv with De Morgan, 4)

(6)(GEN with , 5)

(7)(Equv with DN, 6)

(8)(MP with 并集公理, A4)

(9)(MP with A4, 8)

(10)(MP with AND ,9)

(11)(MP with T, 10)

(12)(MP with 7, 11)

(13)(GEN with , 12)

(14) (E)

(15) (GEN with , 14)

(16)(MP with A4, 15)

(17) (Equv with 13, 16)

比较性质

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定理(1) — 

证明
注意到可以从(AND)得到

换句话说,从演绎元定理

(u)

(1) (Hyp)

(2) (MP with 1, A4)

(3) (AND)

(4)(AND)

(5)(D1 with 2, 3)

(6)(u with 4, 5)

(7)(GENe with , 6)

(8) (MP with 并集公理, A4)

(9) (MP with 并集公理, A4)

(10) (MP with 8, A4)

(11) (MP with 9, A4)

(12) (D1 with 7, 10)

(13) (D1 with 11, 12)

(14) (GEN with , 13)

覆盖性质

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定理(2) — 

正好就是其幂集的并集”,这个定理直观上可理解成,因为幂集 是以 子集为元素,所以 的并集理当是

证明
注意到可以从(AND)得到

换句话说,从演绎元定理

(u)

(1)(MP with 并集公理, A4)

(2) (幂集公理)

(3) (MP with A4 ,2)

(4) (Equv with 1, 3)

(5) (AND)

(6) (A4)

(7) (D1 with 5, 6)

(8) (AND)

(9) (u with 7, 8)

注意到

再对上式套用(AND)就有

(a)

(10') (D1 with a, 9)

(11') (GENe with , 10')

(12') (A4)

(13') (MP with T, 12')

(14') (I)

(15') (GEN with , 14')

注意到(AND)依据演绎定理可改写为

(b)

(16'') (b with 15')

(17'') (D1 with 13', 16'')

(18'') (AND with 11', 17'')

(19'') (Equv with 4, 18''')

定理(3) — 

直观上,这个定理说“一群集合的并集包含于 ,则它们个个都包含于

证明
(1) (Hyp)

(2) (A4 and T)

(3) (MP with 1, A4)

(4) (D1 with 2, 3)

(5) (MP with abb, 4)

(6) (GEN with , 5)

(7) (MP with A5 , 6)

(8) (GEN with , 7)

定理(4) — 

直观上,这个定理说“集族 的并集为 ,则对 的每点 ,都可从 里找到一个 的邻域 ,且这个邻域不会比 大 ”

证明
注意到可以从(AND)得到

换句话说,从演绎元定理

(u)

(1) (Hyp)

(2) (MP with 1, 定理3)

(3) (MP with A4, 2)

(4) (AND)

(5) (AND)

(6) (AND)

(7) (D1 with 3, 4)

(8) (a with 5, 6)

(9) (a with 7, 8)

(10) (GENe with , 9)

(11) (MP with A4, 1)

(12) (AND with 11)

(13) (D1 with 10, 12)

(14) (GEN with , 13)

(15)(幂集公理)

(16)(MP with A4, 15)

(17)(Equv with 14, 16)

(18) (有限交集)

(19)(MP with A4, 18)

(20)(MP with A4, 19)

(21)(MP with A4, 20)

(22)(Equv with 17, 21)

(23)(MP with 并集公理, A4)

(24)(Equv with 22, 23)

运算性质

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定理(5) — 

证明
(1) (的定义)

(2) (MP with 并集公理, A4)

(3) (有限交集)

(4)(MP with A4, 2)

(5) (MP with A4, 1)

(6) (Equv with 4, 5)

(7)(Equv with Ce, 6)

(8)(Equv with 量词可交换性 ,7)

(9) (E2)

(10)(AND)

(11)(D1 with 9,10)

(12)

(MP with A2, 11)

(13)(I)

(14)(MP with 12, 13)

(15)(AND)

(16)(D1 with 14,15)

(17)(GENe with then )

(18) (E1)

注意到配合(AND)和演绎定理

(a)

(19)(a with 18)

(20)(A4)

(21)(MP with T, 20)

(22)(D1 with 19, 21)

(23)(GENe with )

(24)(AND with 17, 23)

(25)(Equv with 8, 24)

(26) (MP with A4, 3)

(27)(Equv with 25, 26)

(28)(Equv with Ce, 27)

(30) (MP with A4, 2)

(31)(Equv with 28, 30)

(32)(MP with A4, 3)

(33)(Equv with 31, 32)

(34)(GEN with , 33)

直观上这个定理说,交集在“无限并集满足分配律”,一般会不正式的写为

定理(6) — 
,若对自然数 做以下的符号定义:

那有

这个定理一般会被不正式的写为

参考

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参考文献

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  1. ^ 程极泰. 集合论. 应用数学丛书 第一版. 国防工业出版社. 1985: 14. 15034.2766.