飯高次元とは？ わかりやすく解説

代数幾何学において、代数多様体 X 上の直線束 L の 飯高次元 (Iitaka dimension) とは、L によって決定される射影空間への有理写像（英語版）の像の次元のことである。これは L の section ring（英語版）

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes d})}$

以下は、複素代数多様体で考える。

K を M 上の標準束とする。K^m の正則切断 H⁰(M, K^m) の次元を P_m(M) で表し、m-種数 (m-genus) と呼ぶ。

${\displaystyle N(M)=\{m\geq 1\mid P_{m}(M)\geq 1\}}$

双有理写像 ${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow W}$

飯高は、n 次元コンパクト複素多様体 M で小平次元 κ(M) が 1 ≤ κ(M) ≤ n − 1 を満たす場合、十分に大きな m₁ と m₂ が存在して、${\displaystyle \Phi _{m_{1}K}\colon M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)}$ と${\displaystyle \Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$ が双有理同値となることを示した。このことは双有理写像 ${\displaystyle \varphi \colon W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$ が存在することを意味している。

さらに、${\displaystyle M}$ に双有理同値な ${\displaystyle M^{*}}$ と、${\displaystyle W_{m_{1}}}$ と ${\displaystyle W_{m_{1}}}$ の両方に双有理同値な ${\displaystyle W^{*}}$ をうまく選んで、

${\displaystyle \Phi :M^{*}\longrightarrow W^{*}}$

が双有理写像で、${\displaystyle \Phi }$ のファイバーが単連結で ${\displaystyle \Phi }$ の一般ファイバー

${\displaystyle M_{w}^{*}\Phi ^{-1}(w),\ \ w\in W*}$

の小平次元が 0 であるようにできる。

上記のファイバー構造を飯高ファイバー空間 (Iitaka fiber space) と呼ぶ。曲面 S (n = 2 = dim(S)) の場合、W^* は代数曲線となり、ファイバー構造は次元 1 であり、一般のファイバーの小平次元は 0、つまり、楕円曲線である。従って、S は楕円曲面である。これらの事実は、一般の次元 n へ拡張可能である。従って、高次元の双有理幾何学の研究は、κ = −∞, 0, n の部分の研究とファイバーが κ = 0 のファイバー空間の研究に分解される。

飯高による次の公式（飯高予想 (Iitaka conjecture) と呼ばれる）は、代数多様体、もしくはコンパクト複素多様体の分類において重要である。

飯高予想 ― ${\displaystyle f\colon V\rightarrow W}$ を m 次元多様体 V から n 次元多様体 W へのファイバー空間とし、各ファイバー ${\displaystyle V_{w}=f^{-1}(w)}$ は連結であるとする。このとき

${\displaystyle \kappa (V)\geq \kappa (V_{w})+\kappa (W).}$

この予想は部分的にしか解かれていない。解かれている例として、モアシェゾン多様体の場合がある。分類理論は、飯高予想を解き、3次元の多様体 V がアーベル多様体であることと κ(V) = 0 かつ q(V) = 3 であることが同値であるという定理やその一般化などを導こうとする努力であるということもできるだろう。極小モデルプログラムもこの予想から導かれるかもしれない。

関連項目

• 双有理幾何学

脚注

参考文献

• Iitaka, Shigeru (1970), “On D-dimensions of algebraic varieties”, Proc. Japan Acad. 46: 487–489, doi:10.3792/pja/1195520260, MR0285532 
• Iitaka, Shigeru (1971), “On D-dimensions of algebraic varieties.”, J. Math. Soc. Japan 23: 356–373, doi:10.2969/jmsj/02320356, MR0285531 
• Ueno, Kenji (1975), Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces, Lecture Notes in Mathematics, 439, Springer-Verlag, MR0506253 

• 飯高, 茂 (1972), “代数多様体の種数と分類 I”, 数学 (日本数学会) 24 (1): 14-27, https://doi.org/10.11429/sugaku1947.24.14 
• 飯高, 茂 (1977), “代数多様体の種数と分類 II”, 数学 (日本数学会) 29 (4): 334-349, https://doi.org/10.11429/sugaku1947.29.334 
• 飯高, 茂 (1982), “種々の双有理幾何と小平次元”, 数学 (日本数学会) 34 (4): 289-300, https://doi.org/10.11429/sugaku1947.34.289