ルート系とは？ わかりやすく解説

ウィキペディア

索引トップ 用語の索引 ランキング カテゴリー

ルート系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/20 22:51 UTC 版)

ナビゲーションに移動 検索に移動

この項目では、数学におけるルート系について説明しています。植物の根系については「根」をご覧ください。

群論 → リー群 リー群
古典群（英語版） 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) シンプレクティック Sp(n)
単純リー群 単純リー群一覧表（英語版） 古典型 An Bn Cn Dn 例外型 G2（英語版） F4（英語版） E6（英語版） E7（英語版） E8（英語版）
他のリー群（英語版） 円周（英語版） ローレンツ ポワンカレ 共形（英語版） 微分同相写像 ループ（英語版）
リー環 指数写像 随伴表現 (群 環) キリング形式 指数（英語版） Lie point symmetry（英語版） 単純リー環
半単純リー環 ディンキン図形 カルタン部分環 ルート系 ワイル群 実形（英語版） 複素化（英語版） 分裂型リー環（英語版） コンパクトリー環（英語版）
等質空間 閉部分群（英語版） 放物型部分群（英語版） 対称空間（英語版） エルミート対称空間（英語版） 制限ルート系（英語版）
表現論 リー群表現 リー環表現
物理学におけるリー群 素粒子物理学と表現論（英語版） ローレンツ群表現（英語版） ポワンカレ群表現（英語版） ガリレイ群表現（英語版）
科学者 ソフス・リー アンリ・ポワンカレ ヴィルヘルム・キリング（英語版） エリ・カルタン ヘルマン・ワイル クロード・シュヴァレー ハリッシュ＝チャンドラ（英語版） アルマン・ボレル
リー群一覧表（英語版）
表 話 編 歴

数学において，ルート系（英: root system，仏: système de racines）とはある幾何学的な性質を満たすユークリッド空間のベクトルの配置である．これはリー群やリー環の理論において基本的な概念である．リー群（や代数群のような類似物）やリー環は20世紀の間に数学の多くの部分で重要になってきたから，ルート系の一見すると特別な性質に反してそれらは多くの分野に応用される．さらに，ディンキン図形によるルート系の分類体系は（特異点論（英語版）のような）リー理論とあからさまなつながりの全くない数学の分野において現れる．最後に，ルート系はスペクトルグラフ理論（英語版）におけるように，それ自身重要である^[1]．

目次

• 1 定義と基本的な例
  • 1.1 定義
  • 1.2 階数 2 の例
• 2 歴史
• 3 ルート系の公理の初等的な結果
• 4 正ルートと単純ルート
  • 4.1 ルートの半順序
• 5 双対ルート系とコルート
• 6 ディンキン図形によるルート系の分類
• 7 既約ルート系の性質
• 8 既約ルート系の明示的な構成
  • 8.1 A_n
  • 8.2 B_n
  • 8.3 C_n
  • 8.4 D_n
  • 8.5 E₆, E₇, E₈
  • 8.6 F₄
  • 8.7 G₂
• 9 ルート系とリー理論
• 10 関連項目
• 11 脚注
• 12 参考文献
• 13 関連文献
• 14 外部リンク

定義と基本的な例

ルート系 A₂ の6つのベクトル．

最初の例として，図に示されているような，2次元ユークリッド空間 R² における6つのベクトルを考える．これらのベクトルは空間全体を張る．任意のルート β に垂直な直線を考えると，その直線による R² の鏡映は任意の他のルート α を別のルートに写す．さらに，写り先は α + nβ に等しい，ただし n は整数である（この場合 n は 1 である）．これら6つのベクトルは以下の定義を満たし，したがってルート系をなす；このルート系は A₂ と呼ばれる．

定義

V を有限次元ユークリッドベクトル空間とし，(・, ・) を標準ユークリッド内積とする．V のルート系 (root system) とは，非零ベクトルの有限集合 Φ であって，以下の条件を満たすもののことである^[2][3]：

1. 集合 Φ はベクトル空間 V を張る．
2. 任意の x ∈ Φ に対して，その実数倍で Φ に属するものは ±x のみ．
3. 任意の x ∈ Φ に対して，集合 Φ は x に垂直な超平面を通る鏡映で閉じている．
4. （整数性）任意の x, y ∈ Φ に対して，x を通る直線への y の射影は x の半整数倍である．

条件3と4を書く同値な方法は以下である：

3. 任意の x, y ∈ Φ に対して，集合 Φ は元 ${\displaystyle \sigma _{x}(y)=y-2{\tfrac {(x,y)}{(x,x)}}x}$ ルート系 A₁ × A₁
   ルート系 D₂
   ルート系 A₂
   ルート系 G₂
   ルート系 B₂
   ルート系 C₂
   

   ルート系 Φ の階数 (rank) は V の次元である．

   2つのルート系は，それらの張るユークリッド空間を共通のユークリッド空間の互いに直交する部分空間と見ることで，つなげることができる．そのような結合から生じないルート系は既約 (irreducible) といわれる．例えば右に描かれているルート系 A₂, B₂, G₂ は既約である．

   2つのルート系 (E₁, Φ₁) と (E₂, Φ₂) が同型 (isomorphic) であるとは，可逆な線型変換 E₁ → E₂ であって，Φ₁ と Φ₂ に送り，ルートの各対に対して，数 〈x, y〉 が保たれるものが存在することをいう^[6]．

   ルート系 Φ のルートに直交する超平面による鏡映によって生成される V の等長変換の群

   ${\displaystyle W=\langle \,\sigma _{\alpha }\mid \alpha \in \Phi \,\rangle }$

   〈β, α〉 に対する整数性条件は垂直線の1つの上の β に対してしか満たされず，〈α, β〉 に対する整数性条件は赤い円の1つの上の β に対してしか満たされない．（Y 軸上の）α に直交する任意の β は自明に両方を 0 で満たすが，既約ルート系を定義しない．
   鏡映を法として，与えられた α に対し，β の非自明な可能性は5つしかなく，単純ルートの集合において α と β の間の可能な角度は3つしかない．サブスクリプトの文字は，与えられた β が最初のルートとして，α が二番目のルートとして（あるいは F₄ における中2つのルートとして）仕えることができるようなルート系の列に対応する．

2つのルートの間の角度の余弦は整数の平方根の半整数倍に制限される．なぜならば，〈β, α〉 と 〈α, β〉 はともに仮定により整数で，

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle &=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}\\&=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

E₆ ルート半順序集合のハッセ図．辺のラベルは足された単純ルートの位置．

正ルート全体の集合は α ≤ β を β − α が単純ルートの非負線型結合であることとして自然に順序付けられる．この半順序集合は

${\displaystyle \operatorname {deg} {\biggl (}\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha {\biggr )}=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}$

すべての既約ディンキン図形の絵

ルート系が既約であるとは，2つの真の部分集合の和集合 Φ = Φ₁ ∪ Φ₂ であって，すべての α ∈ Φ₁ と β ∈ Φ₂ に対して (α, β) = 0 となるようなものに分割できないことをいう．

既約ルート系はイェヴゲニ・ディンキン（英語版）にちなんで名づけられているディンキン図形というグラフ（英語版）と対応する．これらのグラフの分類は単純な組合せ論であり，既約ルート系の分類をもたらす．

ルート系が与えられたとき，前の節にあるように単純ルートの集合 Δ を選ぶ．付随するディンキン図形の頂点は Δ のベクトルに対応する．ベクトルの直交しない各対の間に辺が描かれる．なす角度が 2π/3 ラジアンのときは，無向の一重辺であり，3π/4 のときは有向二重辺であり，5π/6 のときは有向三重辺である．「有向辺」という用語は二重・三重辺は短い方のベクトルを指す記号が付けられることを意味する．

与えられたルート系の単純ルートの集合の可能性は1つではないが，ワイル群はそのような選び方に推移的に作用する^[14]．したがって，ディンキン図形は単純ルートたちの選び方には依らず，ルート系自身によって決定される．逆に，同じディンキン図形をもつ2つのルート系が与えられると，基底のルートから合わせ始めて，2つが実は同じであることを示すことができる．

したがってルート系の分類の問題は可能なディンキン図形の分類の問題に帰着する．ルート系が既約であることとそのディンキン図形が連結であることは同値である．ディンキン図形は基底 Δ のことばで E の内積の情報を持っており，この内積が正定値でなければならないという条件は所望の分類を得るのに必要なすべてであることが判明する．

実際の連結図形は以下のとおりである．サブスクリプトは図形の頂点の個数（したがって対応する既約ルート系の階数）を指し示す．

既約ルート系の性質

既約ルート系は対応する連結ディンキン図形にしたがって名づけられる．4つの無限族（A_n, B_n, C_n, D_n で，古典型ルート系と呼ばれる）と5つの例外的な場合（例外型ルート系）が存在する^[15]．サブスクリプトはルート系の階数を意味する．

既約ルート系において長さ (α, α)^1/2 の値は高々2種類であり，短いルートと長いルートである．すべてのルートが同じ長さを持っているときは長いと定義し，ルート系は simply laced といわれる．これは A, D, E の場合におこる．同じ長さの任意の2つのルートはワイル群の同じ軌道に入る．Simply laced でない場合 B, C, G, F では，ルート格子は短いルートによって張られ，長いルートは部分格子を張り，これはワイル群で不変で，コルート格子の r²/2 倍に等しい，ただし r は長いルートの長さである．

添付の表において，|Φ^<| は短いルートの個数を表し，I は長いルートによって生成される部分格子のルート格子における指数を表し，D はカルタン行列の行列式を表し，|W| はワイル群の位数を表す．

既約ルート系の明示的な構成

A_n

A₃

	e1	e2	e3	e4
α1	1	−1	0	0
α2	0	1	−1	0
α3	0	0	1	−1

V を座標の和が 0 になる Rⁿ⁺¹ の部分空間とし，Φ を V の長さ √2 の整数ベクトルすなわち Rⁿ⁺¹ において整数座標を持つベクトル全体の集合とする．そのようなベクトルは2つを除くすべての座標が 0 で，1つの座標は 1 で，1つは −1 でなければならず，したがって全部で n² + n 個のルートがある．単純ルートの取り方の1つを標準基底で表すと：1 ≤ i ≤ n に対して α_i = e_i − e_i+1.

α_i に垂直な超平面を通る鏡映 σ_i は隣り合う i 番目と (i + 1) 番目の置換と同じである．そのような互換は全置換群を生成する．隣り合う単純ルートに対して，

σ_i(α_i+1) = α_i+1 + α_i

= σ_i+1(α_i) = α_i + α_i+1

である，つまり，鏡映は1倍を足すことに等しい．しかし，隣り合わない単純ルートに垂直な単純ルートの鏡映はそれを変えず，0倍を引くことである．

A_n ルート格子，つまり A_n ルートによって生成される格子は，成分の和が 0 である Rⁿ⁺¹ の整数ベクトルの集合として最も容易に記述される．

A₃ ルート格子は結晶学者に面心立方 (fcc)（あるいは立方最密）格子と呼ばれている^[16]．

ゾムツール・システムにおける A₃ ルート系の模型．

A₃ ルート系は（他の階数 3 のルート系も）ゾムツール・コンストラクション・セットで模型を作れる^[17]．

B_n

B₄

1	−1	0	0
0	1	−1	0
0	0	1	−1
0	0	0	1

V = Rⁿ とし，Φ を V の長さ 1 か √2 のすべての整数ベクトルからなるとする．ルートの総数は 2n² である．単純ルートたちの1つの選び方は：1 ≤ i ≤ n − 1 に対して α_i = e_i − e_i+1 と（A_{n − 1} に対する上の単純ルートの取り方），短ルート α_n = e_n である．

短ルート α_n に垂直な超平面に関する鏡映 σ_n はもちろん単に n 番目の座標の −1 倍である．長単純ルート α_{n − 1} に対し，σ_n−1(α_n) = α_n + α_n−1 であるが，短ルートに垂直な鏡映に対しては，σ_n(α_n−1) = α_n−1 + 2α_n であり，1倍ではなく2倍である．

B_n ルート格子，つまり，B_n ルートによって生成される格子は，すべての整数ベクトルからなる．

B₁ は √2 によるスケーリングによって，A₁ に同型であり，したがって異なるルート系ではない．

C_n

C₄

1	−1	0	0
0	1	−1	0
0	0	1	−1
0	0	0	2

V = Rⁿ とし，Φ を長さ √2 の V のすべての整数ベクトルと，λ を長さ 1 の整数ベクトルとして 2λ の形のすべてのベクトルからなるとする．ルートの総数は 2n² である．単純ルートの1つの選び方は：1 ≤ i ≤ n − 1 に対して α_i = e_i − e_i+1 と（A_{n − 1} に対する単純ルートの上の選び方），長い方のルート α_n = 2e_n である．

鏡映 σ_n(α_n−1) = α_n−1 + α_n であるが，σ_n−1(α_n) = α_n + 2α_n−1 である．

C_n ルート格子，つまり C_n ルートによって生成される格子は，成分の和が偶数な整数ベクトル全てからなる．

C₂ は √2 によるスケーリングと 45 度の回転によって B₂ と同型であり，したがって相異なるルート系ではない．

ルート系 B₃, C₃, A₃ = D₃ を立方体と正八面体の中の点として描いたもの

D_n

D₄

1	−1	0	0
0	1	−1	0
0	0	1	−1
0	0	1	1

V = Rⁿ とし，Φ を長さ √2 の V のすべての整数ベクトルからなるとする．ルートの総数は 2n(n − 1) である．単純ルートたちの1つの選び方は：1 ≤ i < n − 1 に対して α_i = e_i − e_i+1 と（A_{n − 1} に対する単純ルートの上の選び方），α_n = e_n + e_n−1 である．

α_n に垂直な超平面を通る鏡映は隣り合う n 番目と n − 1 番目の座標を入れ替え −1 倍するのと同じである．任意の単純ルートと別の単純ルートに垂直なその鏡映との差は二番目のルートの0倍か1倍であり，それより大きくはない．

D_n ルート格子，つまり，D_n ルートによって生成される格子は，成分の和が偶数であるような整数ベクトル全部からなる．これは C_n ルート格子と同じである．

D₃ は A₃ と一致し，したがって相異なるルート系ではない．

D₄ は triality（英語版） と呼ばれる追加の対称性を持つ．

E₆, E₇, E₈

122（英語版） の 72 個の頂点は E6（英語版） のルートベクトルを表す （緑の頂点はこの E6 コクセター平面射影では倍増にされている）	231（英語版） の 126 個の頂点は E7（英語版） のルートベクトルを表す	421（英語版） の 240 個の頂点は E8（英語版） のルートベクトルを表す

• E₈ ルート系は次の集合に合同な R⁸ のベクトルの任意の集合である：

${\displaystyle \mathrm {D} _{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}:\varepsilon _{i}=\pm 1,\varepsilon _{1}\dotsm \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$

コクセター平面（英語版）で見た，正二十四胞体（英語版）とその双対の頂点によって定義された，F₄ の 48 個のルートベクトル

F₄ に対して，V = R⁴ とし，Φ を長さが 1 か √2 のベクトル α であって 2α の座標がすべて整数ですべて偶数かすべて奇数なもの全体の集合とする．この系には48個のルートがある．単純ルートの1つの選び方は：B₃ に対して上で与えられた単純ルートの選び方と，α₄ = −(1/2)∑4
i=1  e_i.

F₄ ルート格子，つまり F₄ ルート系によって生成される格子は，R₄ の点であってすべての座標が整数であるかまたはすべての座標が整数でない半整数であるようなもの全体の集合である．この格子はフルヴィッツ四元数（英語版）の格子に同型である．

G₂

G₂ の単純ルート

1	−1	0
−1	2	−1

ルート系 G₂ は12個のルートを持ち，六芒星の頂点をなす．上の絵を参照．

単純ルートの1つの選び方は：(α₁, β = α₂ − α₁), ただし i = 1, 2 に対して α_i = e_i − e_i+1 は A₂ に対する単純ルートの上の選び方である．

G₂ ルート格子，つまり，G₂ ルートによって生成される格子は，A₂ ルート格子と同じである．

ルート系とリー理論

既約ルート系はリー理論におけるいくつかの関連した対象を分類する，特に

• 以下を含む単純リー群（単純リー群一覧（英語版）を参照）：
  • 複素単純リー群；
  • 付随する複素単純リー環；
  • 中心で割って単純な単連結複素リー群．

各場合において，ルートは随伴表現の非零ウェイトである．

極大トーラス T をもつ単連結単純コンパクトリー群 G の場合には，ルート格子は自然に Hom(T, T) と同一視でき，コルート格子は Hom(T, T) とできる，ただし T は円周群である；Adams (1983) を参照．

例外型ルート系とそれらのリー群とリー環との関係は，E₈（英語版）, E₇（英語版）, E₆（英語版）, F₄（英語版）, G₂（英語版） を参照．

表 話 編 歴 例外型リー群 G2（英語版） F4（英語版） E6（英語版） E7（英語版） E8（英語版）

関連項目

• ADE分類（英語版）
• アファインルート系
• コクセター・ディンキン図形（英語版）
• コクセター群
• コクセター行列
• ディンキン図形
• ルートデータ（英語版）
• 半単純リー環のルート系
• ワイル群

脚注

[ヘルプ]

1. ^ “Graphs with least eigenvalue −2; a historical survey and recent developments in maximal exceptional graphs”. Linear Algebra and its Applications 356: 189–210. doi:10.1016/S0024-3795(02)00377-4. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0024379502003774. 
2. ^ Bourbaki 2002, Ch. VI, Section 1.
3. ^ Humphreys 1972, p. 42.
4. ^ Humphreys 1992, p. 6.
5. ^ Humphreys 1992, p. 39.
6. ^ ^{a b} Humphreys 1972, p. 43.
7. ^ Hall 2015, Proposition 8.8.
8. ^ Killing 1889.
9. ^ ^{a b} Bourbaki 1998, p. 270.
10. ^ Coleman 1989, p. 34.
11. ^ Hall 2015, Theorem 8.16.
12. ^ Humphreys 1992, Theorem 3.20.
13. ^ Hall 2015, Proposition 8.18.
14. ^ これは Hall 2015 Proposition 8.23 から従う．
15. ^ Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9 .
16. ^ Conway, John Horton; Sloane, Neil James Alexander; & Bannai, Eiichi. Sphere packings, lattices, and groups. Springer, 1999, Section 6.3.
17. ^ Hall 2015, Section 8.9.

参考文献

• Adams, J.F. (1983), Lectures on Lie groups, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00530-5 
• Bourbaki, Nicolas (2002), Lie groups and Lie algebras, Chapters 4–6 (translated from the 1968 French original by Andrew Pressley), Elements of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7 . The classic reference for root systems.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 3540647678. 
• Coleman, A.J. (Summer 1989), “The greatest mathematical paper of all time”, The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38, doi:10.1007/bf03025189 
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6 
• Humphreys, James (1992). Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge University Press. ISBN 0521436133. 
• Humphreys, James (1972). Introduction to Lie algebras and Representation Theory. Springer. ISBN 0387900535. 
• Killing, Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen Mathematische Annalen, Part 1: Volume 31, Number 2 June 1888, Pages 252-290 doi:10.1007/BF01211904; Part 2: Volume 33, Number 1 March 1888, Pages 1–48 doi:10.1007/BF01444109; Part3: Volume 34, Number 1 March 1889, Pages 57–122 doi:10.1007/BF01446792; Part 4: Volume 36, Number 2 June 1890,Pages 161-189 doi:10.1007/BF01207837
• Kac, Victor G. (1994), Infinite dimensional Lie algebras .
• Springer, T.A. (1998). Linear Algebraic Groups, Second Edition. Birkhäuser. ISBN 0817640215. 

関連文献

• Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. （ロシア語） Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

外部リンク

  ウィキメディア・コモンズには、ルート系に関するカテゴリがあります。