微分公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:03 UTC 版)
d d x sinh x = cosh x d d x cosh x = sinh x d d x tanh x = 1 − tanh 2 x = sech 2 x = 1 cosh 2 x d d x coth x = 1 − coth 2 x = − csch 2 x = − 1 sinh 2 x d d x csch x = − coth x csch x d d x sech x = − tanh x sech x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\end{aligned}}} したがって、 sinh x と cosh x はいずれも二階の線型微分方程式 d 2 d x 2 y ( x ) = y ( x ) {\displaystyle {{\rm {d}}^{2} \over {\rm {d}}x^{2}}y(x)=y(x)} の解であり、この微分方程式の基本解系の一つになる。
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微分公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:03 UTC 版)
d d x sinh − 1 x = 1 x 2 + 1 d d x cosh − 1 x = 1 x 2 − 1 d d x tanh − 1 x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{1-x^{2}}}\end{aligned}}} このことから、(1−x2)1/2 を含む有理関数の原始関数を求めるために x = sin t などと三角関数を用いた置換積分を考えると有用である場合が多いのと同様に、(x2+1)1/2 を含む有理関数の積分に双曲線関数を用いた置換積分を考えることは有用であることが多い。 arcsinh のグラフ arccosh のグラフ arctanh のグラフ
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微分公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/21 14:06 UTC 版)
「ベクトル解析の公式の一覧」の記事における「微分公式」の解説
ここで A {\displaystyle \mathbf {A} } , B {\displaystyle \mathbf {B} } は任意のベクトル場, f {\displaystyle f} は任意のスカラー場である。 ∇ ⋅ ( f A ) = ∇ f ⋅ A + f ∇ ⋅ A {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (f\mathbf {A} )=\mathbf {\nabla } f\cdot \mathbf {A} +f\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} } ∇ ( A ⋅ B ) = ( B ⋅ ∇ ) A + ( A ⋅ ∇ ) B + A × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ × A ) {\displaystyle \mathbf {\nabla } (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} +\mathbf {A} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )} ∇ ⋅ ( A × B ) = B ⋅ ( ∇ × A ) − A ⋅ ( ∇ × B ) {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )} ∇ × ( f A ) = ∇ f × A + f ∇ × A {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times (f\mathbf {A} )=\mathbf {\nabla } f\times \mathbf {A} +f\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} } ∇ × ( A × B ) = ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B + A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {B} +\mathbf {A} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} )} ∇ × ∇ f = 0 {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } f=0} ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=0} ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} )-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} } ヘルムホルツ分解 B = ∇ f + ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } f+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }
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