多変量とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/02 15:56 UTC 版)

「確率密度関数」の記事における「多変量」の解説

上記の式は、1つよりも多くの変数に依存する変数（y と書く）に一般化できる。y が依存する変数の確率密度関数を f(x1, …, xn) とすると、依存関係は y = g(x1, …, xn) で表される。このとき得られる確率密度関数は[要出典] ∫ y = g ( x 1 , ⋯ , x n ) f ( x 1 , ⋯ , x n ) ∑ j = 1 n ∂ g ∂ x j ( x 1 , ⋯ , x n ) 2 d V {\displaystyle \int \limits _{y=g(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\frac {f(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(x_{1},\cdots ,x_{n})^{2}}}}\;dV} となる。ただし積分は添え字の方程式の (n − 1) 次元の解全体を渡り、記号 dV は実際の計算にはこの解のパラメータ化に置き換えなければならない。変数 x1, …, xn はもちろんこのパラメータ化の関数である。 これからより直感的な表現が導かれる。x を同時確率密度 f の n 次元確率変数とする。H を全単射で微分可能な関数として y = H(x) であるならば、y は密度 g を持つ： g ( y ) = f ( x ) | det ( d x d y ) | {\displaystyle g(\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )\left\vert \det \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} \mathbf {y} }}\right)\right\vert } ここで微分は H の逆関数のヤコビ行列の y における値である。 独立性を仮定してデルタ関数を用いると、以下のように同じ結果が得られる。 独立な確率変数 Xi, i = 1, 2, …n の確率密度関数が fXi(xi) で与えられる時、Y = G(X1, X2, …Xn) の確率密度関数を計算できる。次の式は、Y の確率密度関数 fY(y) と fXi(xi) をデルタ関数で結合するものである。 f Y ( y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ⋯ ∫ − ∞ ∞ f X 1 ( x 1 ) f X 2 ( x 2 ) ⋯ f X n ( x n ) δ ( y − G ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ) d x 1 d x 2 ⋯ d x n {\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(x_{2})\cdots f_{X_{n}}(x_{n})\delta (y-G(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}))\,dx_{1}\,dx_{2}\,\cdots dx_{n}}

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