外心とは？ わかりやすく解説

「（円に）外接する円（英語版）」とは異なります。

初等幾何学における多角形の外接円（がいせつえん、英: circumscribed circle, circumcircle）は、その多角形の全ての頂点を通る円をいう。外接円の中心を外心 (circumcenter) といい、その半径を外接半径 (circumradius) という。

外接円を持つ多角形は、円内接多角形 (inscribed polygon), cyclic polygon (輪状多角形) あるいは、そのすべての頂点が同一円周上にある（つまり、共円である）ことにより共円多角形 (concyclic polygon)などと呼ばれる。任意の正単純多角形や任意の等脚台形、任意の三角形、任意の長方形は共円多角形の例となる。

よく似た概念の一つに最小包含円（英語版） (minimum bounding circle) があり、これはその多角形を完全に含む最小の円をいう。（多角形のすべての頂点が同一円周上にある必要はないことより）必ずしも任意の多角形に外接円が存在するとは限らないが、任意の多角形は最小包含円をただ一つ持つ（それを線形時間で構成するアルゴリズムがある^[1]）。多角形が外接円を持つ場合であっても、外接円と最小包含円が一致するとは限らない。例えば鈍角三角形の最小包含円は最長辺を直径とする円で、これは最長辺の対角の頂点を通らない。

すべての三角形には外接円が存在する。三角形の外心は、3つの辺の垂直二等分線が交わる点である。

航海において、三角形の外接円は方位磁針が使用できない状況で六分儀を利用して位置を割り出すのに使用されることがある。

鋭角三角形の外心は三角形の内部にあり、鈍角三角形の外心は三角形の外部にある。直角三角形の外心は斜辺の中点である。

外接円の直径は、辺の長さとその辺に対する頂点の角度から求めることができる。これを正弦定理という。

三角形の外心はその三角形の重心・垂心と同じ直線上にある。この直線をオイラー線という。三角形の九点円の半径は、外接円の半径の半分である。

直交座標系における外接円の式は行列式を用いて以下のように表すことができる。

${\displaystyle \det {\begin{vmatrix}v^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\A^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\B^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\C^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{vmatrix}}=0}$

詳細は「共円四辺形」を参照

四角形が特定の条件—例えば対角が補角（互いに加えて180°あるいはπラジアン）となること—を満たすとき、円を外接させることができる。

これを満たす代表的な四角形として、長方形・等脚台形があげられる。

外接円の半径は

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}$