交代化とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/12 03:25 UTC 版)

「多重線型交代写像」の記事における「交代化」の解説

多重線型写像 f : V n → W {\displaystyle f\colon V^{n}\to W} が与えられれば、それに対して多重線型交代写像 g : V n → W {\displaystyle g\colon V^{n}\to W} を g ( x 1 , … , x n ) := ∑ σ ∈ S n ε ( σ ) f ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( n ) ) {\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})} で定めることができ、これを f の交代化 (alternatization) と言う。 性質 n-重線型交代写像の交代化は、もとの写像に n! を掛けたものになる。 多重線型対称写像の交代化は零写像である。 双線型写像の交代化は双線型交代写像である。最も見るべきは、任意のコサイクルの交代化が双線型となることである。この事実は、格子上の双線型交代形式の群を持つ格子の、二次のコホモロジー群の決定において重要な役割を果たす。

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