お風呂場のパカパカドアが通る面積を計算したら感動的に綺麗だった【美しい回答追記】

こんにちは、ほけきよです！！

みなさんのお家にあるお風呂場で、こんなドアはないでしょうか??

そう、通称『パカパカドア』ですね！！私の家もこのドアです。

ある日、シャワーを浴びている時、このドアをパカパカしていました。全裸で。

すると、このパカパカドア、なかなか複雑な動きをしているな、と気づきました。全裸で。

「これは、求めなければならない…!!」

使命感にかられ、すぐさまお風呂を飛び出して計算に取り掛かりました。

高校数学で解けますが、なかなか色々考えることがたくさんあって難しい問題になってます。 数学に自身のある諸氏はぜひともチャレンジしてみてください。

問題

問題文は以下の通り

どんな形になるの？

解く前に軽いヒントを。 このドア、どんな図形を描くか想像できますか？

せっかくなので今回はアニメーションにしてみました。

これを重ね合わせると、↓のようになります

美しい…

こう言うので囲まれる図形を包絡線といいます。

つまり今回のお題は、この包絡線で囲まれる面積を求めるってことです。

回答と解説

ここからは回答と解説です。解きたい人は押さないでくださいな。 (雑な字ですみません。数式や図を描く元気がなかったですw)

出ましたね。答えはです！！

追記【美しい回答】

かなり多くの方に興味を持って読まれているみたいで、ありがたいです。数学好きが増えるといいな！笑

そんな私の記事を読んでくださった方から、あるメッセージをいただきました。

@hokekiyoo 夜分失礼します．ブログにコメントをさせていただいた者で，Wallis積分はできないと言いましたが，アステロイドの対称性からできます，すみません…この記事実に興味深かったので考えてみました(https://t.co/JKrtWOs0s4) この程度見抜いておられたかもしれませんが…

— As^2 (@Asdf_QwertyZ) 2017年4月29日

こう言う指摘を待っていました！

アステロイドとは？はしご滑り落ちる問題

壁にかけたハシゴが、スルスルスルー…バタンって倒れるところを、誰もが一度は見たことがあるでしょう！ その時の描く包絡線、これをアステロイドと呼びます。 ハシゴが滑り落ちていくさまを重ね合わせると、このような図形になります。

これまた、ふつくしい…!!

それがどうした

「それで？どうしたの？」 となりますが、実は、この

長さlのパカパカドア問題の包絡線は、長さ2lのはしご滑り落ちる問題と において、同じ問題

なのです！そこまで気づけなかった、くやc…!

パカパカの図と、さっきのはしご滑り落ちる図を重ねてみます。

おお、一致している…!美しい！ つまり、アステロイドの面積問題に帰着させることができると言うわけですね。

なぜ一致するのか？

図で簡単な証明をtwitterに載せておきました。興味のある人はどうぞ！赤の線がドアです。 恥ずかしながら私はアステロイドと関係ありそうだなーと思いつつ、そこで思考が止まってしまいました。

アステロイドの一種かなと思っていたら、アステロイドだった話🤗ドアの左側部分、全然使ってなかったけど、まさかここで使うとは…！
やはり美しい😇😇😇 pic.twitter.com/a7pymU67vK

— ほけきよ🤔 (@hokekiyoo) 2017年4月29日

コメントをくれたのは現役バリバリの学生さんです。やはり強い…!

こうやって俯瞰して抽象度の高い共通項を見つける。Scienceの魅力ですねー！

まとめ

まさかこんなに綺麗に解けるなんて、かなり美しい結果に自分でも驚きました。 パカパカした甲斐があった。全裸で。

個人的には難関大の入試問題に出てもおかしくないくらいの手応えでした。

解くだけでも十分楽しいですが、「お、これ解けるかな？」 と自分で問題を作って解くのも、また格別の楽しさがあります。

ちなみ自慢ですが、昔、ある大学の入試問題予想を当てて、友人を一人救ったことがありますwこれもどっかの入試問題で出ないかなー！！ではではっ！

物理の散歩道

私のこういうネタ記事を考える面白さを与えてくれた本です。 こういう、日常を「科学」で捉える、とてもおもしろい本なので、 この記事が面白いと思った方は是非手にとってみてください！

新 物理の散歩道〈第1集〉 (ちくま学芸文庫)